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【新步步高】2017版高考数学(理 全国甲卷)三轮增分练:高考小题分项练 4

资料类别: 数学/同步

所属版本: 通用

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高考小题分项练4 函数与导数
1.已知函数y=xf′(x)的图象如下图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下列四个图象中y=f(x)的图象大致是(  )



答案 C
解析 由函数y=xf′(x)的图象可知:
当x<-1时,xf′(x)<0,f′(x)>0,此时f(x)单调递增;
当-10,f′(x)<0,此时f(x)单调递减;
当01时,xf′(x)>0,f′(x)>0,此时f(x)单调递增.
故符合f(x)的图象为C.
2.定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f′(x)>1,f(0)=4,则不等式exf(x)>ex+3(其中e为自然对数的底数)的解集为(  )
A.(0,+∞)  B.(-∞,0)∪(3,+∞)
C.(-∞,0)∪(0,+∞)  D.(3,+∞)
答案 A
解析 令g(x)=exf(x)-ex,
∴g′(x)=exf(x)+exf′(x)-ex
=ex[f(x)+f′(x)-1],
∵f(x)+f′(x)>1,∴g′(x)>0,
∴y=g(x)在定义域上单调递增,
∵exf(x)>ex+3,∴g(x)>3,
∵g(0)=3,∴g(x)>g(0),∴x>0,故选A.
3.不等式ex-x>ax的解集为P,且(0,2]P,则a的取值范围是(  )
A.(-∞,e-1)  B.(e-1,+∞)
C.(-∞,e+1)  D.(e+1,+∞)
答案 A
解析 不等式ex-x>ax在(0,2]上恒成立,即a<(-1)min,x∈(0,2],令y=-1,x∈(0,2],则y′==0x=1,列表分析可得x=1时,y=-1取最小值e-1,从而a的取值范围是(-∞,e-1),
故选A.
4.若函数f(x)=-lnx- (a>0,b>0)的图象在x=1处的切线与圆x2+y2=1相切,则a+b的最大值是(  )
A.4B.2
C.2D.
答案 D
解析 f(x)=-lnx- (a>0,b>0),
所以f′(x)=-,则f′(1)=-为切线的斜率,
切点为(1,-),
所以切线方程为y+=-(x-1),
整理得ax+by+1=0.
因为切线与圆相切,所以=1,即a2+b2=1.
由基本不等式得a2+b2=1≥2ab,
所以(a+b)2=a2+b2+2ab=1+2ab≤2,
所以a+b≤,即a+b的最大值为.
5.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f′(x),f′(0)>0,对于任意的实数x都有f(x)≥0,则的取值范围是(  )
A.[,+∞)  B.[2,+∞)
C.[,+∞)  D.[3,+∞)
答案 B
解析 由题意得,f′(x)=2ax+b,
∵f′(0)>0,∴b>0,
又∵x∈R,都有f(x)≥0,∴a>0,
∴Δ=b2-4ac≤0ac≥⇒≥⇒·≥,
∴c>0.∴==1++
≥1+2≥1+2=2,
当且仅当==a=c=b>0时,等号成立,
∴的取值范围是[2,+∞),故选B.
6.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),其导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内极小值点的个数为(  )

A.1B.2
C.3D.4
答案 A
解析 f′(x)>0时,f(x)单调递增,f′(x)<0时,f(x)单调递减.f(x)的图象如图所示,显然f(x)在(a,b)内的极小值点只有一个.

7.已知定义域为R的奇函数y=f(x)的导函数为y=f′(x),当x≠0时,xf′(x)-f(x)<0,若a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系正确的是(  )
A.ae>ln2知<<,即c0.
∴不等式f(x)1恒成立,则实数a的取值范围是(  )
A.[15,+∞)  B.[6,+∞)
C.(-∞,15]  D.(-∞,6]
答案 A
解析 >1
>0,
∴g(x)=f(x+1)-(x+1)在(0,1)内是增函数,
∴g′(x)>0在(0,1)内恒成立,
即-(2x+3)>0恒成立,
∴a>[(2x+3)(x+2)]max,
∵x∈(0,1)时,(2x+3)(x+2)<15,
∴实数a的取值范围为[15,+∞),
故选A.
13.(+3)dx=______________.
答案 ++6
解析 令y=,则(x-2)2+y2=4,
所以dx表示以(2,0)为圆心,2为半径的圆在第一象限内1≤x≤3部分的面积,其面积为×4π+2××1×=π+.
所以(+3)dx
=()dx+3dx
=++(3x)|=++6.
14.(2016·课标全国丙)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是________.
答案 2x+y+1=0
解析 设x>0,则-x<0,f(-x)=lnx-3x,
又f(x)为偶函数,f(x)=lnx-3x,f′(x)=-3,
f′(1)=-2,切线方程为y=-2x-1,
即2x+y+1=0.
15.如图,阴影部分的面积是________.

答案 
解析 联立直线y=2x与抛物线y=3-x2,解得交点为(-3,-6)和(1,2).设阴影部分面积为S,如图,

则S=(3-x2-2x)dx
=--x2+3x|
=(--1+3)-(9-9-9)
=.
16.设函数f(x)=ex,g(x)=lnx+m.有下列五个命题:
①若对任意x∈[1,2],关于x的不等式f(x)>g(x)恒成立,则mg(x0)成立,则mg(x2)恒成立,则mg(x2)成立,则mg(x2)成立,则mg(x)恒成立,即f(x)-g(x)>0恒成立,令F(x)=f(x)-g(x)=ex-lnx-m,F′(x)=ex->0 (x∈[1,2]),只需F(1)=e-m>0,即mg(x0)成立,由①可知只需F(2)=e2-ln2-m>0,即mg(x2)恒成立,即f(x)min>g(x)max,即f(1)>g(2),所以mg(x2)成立,则f(x)min>g(x)min,即f(1)>g(1),所以mg(x2)成立,则f(x)max>g(x)min,即f(2)>g(1),所以m
        
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