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【新步步高】2017版高考数学(理 全国甲卷)三轮增分练:高考小题分项练 2

资料类别: 数学/同步

所属版本: 通用

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高考小题分项练2 不等式
1.若a>b>0,则下列不等式不成立的是(  )
A.a+b<2B.a>b
C.lna>lnbD.0.3a<0.3b
答案 A
解析 由题意及不等式的性质,知a+b>2,故选A.
2.若不等式mx2+2mx-4<2x2+4x对任意x都成立,则实数m的取值范围是(  )
A.(-2,2]  B.(-2,2)
C.(-∞,-2)∪[2,+∞)  D.(-∞,2]
答案 A
解析 原不等式等价于(m-2)x2+2(m-2)x-4<0,
①当m=2时,对任意x不等式都成立;
②当m-2<0时,Δ=4(m-2)2+16(m-2)<0,
∴-20,b>0)的最大值为8,则ab的最大值为(  )
A.1B.2
C.D.4
答案 C
解析 由约束条件作出可行域如图(含边界).

联立解得B(,).
化z=ax+by为y=-x+,由图可知,当直线y=-x+过点B时,直线在y轴上的截距最大,z最大.此时z=a+b=8,即3a+14b=20.
∵a>0,b>0,∴20=3a+14b≥2,即ab≤.
∴ab的最大值为,故选C.
6.已知变量x,y满足约束条件若≤,则实数a的取值范围为(  )
A.(0,1]  B.[0,1)
C.[0,1]D.(0,1)
答案 C
解析 表示区域内点(x,y)与定点A(2,0)连线的斜率k,由图易观察到BC与y轴重合时,|k|≤kAC=,
当BC向右移动时,|k|≤kAC<.
综上,a∈[0,1].

7.已知直线ax+by=1经过点(1,2),则2a+4b的最小值为(  )
A.B.2
C.4D.4
答案 B
解析 ∵直线ax+by=1经过点(1,2),所以a+2b=1,
则2a+4b=2a+22b≥2=2=2.
故选B.
8.不等式x2+2x<+对任意a,b∈(0,+∞)恒成立,则实数x的取值范围是(  )
A.(-2,0)
B.(-∞,-2)∪(0,+∞)
C.(-4,2)
D.(-∞,-4)∪(2,+∞)
答案 C
解析 ∵a,b∈(0,+∞),∴+≥2=8,
当且仅当a=4b时,等号成立,
∴由题意得x2+2x<8,解得-40),的最大值为6,则实数a的值为(  )
A.1B.2
C.3D.4
答案 D
解析 =()2-2·()+3=(-1)2+2,
设k=,则k的几何意义是过区域内的点与原点的直线的斜率,作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示(含边界):

由得即A(1,1),
则点A(1,1)在直线x+y1+1=2,
由 得即B(1,a-1).
AC对应直线为y=x,斜率k=1,
则k=的最大值为k=a-1,则1≤k≤a-1 (a≥2),
则当=a-1时,取得最大值为6,
即(a-1-1)2+2=6,
即(a-2)2=4,解得a-2=2或a-2=-2,
即a=4或a=0(舍),故选D.
13.已知变量x,y满足则z=log4(2x+y+4)的最大值为________.
答案 
解析 作的可行域如图阴影部分(含边界):

易知可行域为一个三角形,验证知在点A(1,2)处,z1=2x+y+4取得最大值8,∴z=log4(2x+y+4)的最大值是,故答案为.
14.设a>0,b>0,若是3a与3b的等比中项,则+的最小值是________.
答案 4
解析 ∵是3a与3b的等比中项,
∴3a·3b=3a+b=3,
∴a+b=1,∴ab≤=(当且仅当a=b时等号成立),∴+==≥4.
15.设关于x,y的不等式组表示的平面区域为D,已知点O(0,0),A(1,0),点M是D上的动点,·=λ||,则λ的最大值为________.
答案 
解析 作可行域如图阴影部分(含边界):

由题意知:B(,1),C(,2).所以∈[,].
设M(x,y),由·=λ||得:x=λ,
所以λ==∈[,],
即λ的最大值为=.
16.已知自变量x,y满足则当3≤S≤5时,z=3x+2y的最大值的变化范围为________.
答案 [7,8]
解析 (1)当x+y=S与y+2x=4有交点时,最大值在两直线交点处取得,最小范围是当S=3时,代入得z=7.

(2)当x+y=S与y+2x=4没有交点时,最大值在(0,4)处取得,代入得z=2×4=8.
综上,z的最大值的变化范围是[7,8].













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