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【南方凤凰台】2017届高考数学(理)二轮复习提优导学案(江苏专用):第1部分 二轮课时专题2 立体几何 2 立体几何综合问题

资料类别: 数学/学案

所属版本: 通用

所属地区: 江苏

上传时间:2017/1/11

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第2讲 立体几何综合问题
【课前热身】
第2讲 立体几何综合问题
(本讲对应学生用书第15~16页)



1.(必修2 P49练习1改编)已知正四棱柱的底面边长为3 cm,侧面的对角线长为3 cm,那么这个正四棱柱的侧面积为    cm2.
【答案】72
【解析】侧面矩形的高为6 cm,所以侧面积为4×3×6=72cm2.

2.(必修2 P55练习5改编)若圆锥底面半径为1,高为2,则圆锥的侧面积为    .
【答案】π
【解析】由题意知圆锥的侧棱长为,所以由圆锥侧面积公式得侧面积为π.

3.(必修2 P49练习4改编)用半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒,则这个圆锥筒的高是    .
【答案】r
【解析】圆锥筒底面圆周的半径R==,高h==r.

4.(必修2 P57习题2改编)若一个正六棱锥的底面边长为6 cm,高为15 cm,则它的体积为    cm3.
【答案】270
【解析】由题意可得,底面积S=×6×6××6=54(cm2),则体积为V=Sh=×54×15=270(cm3).

5.(必修2 P55练习3改编)如果一个正三棱锥的底面边长为6,侧棱长为,那么这个正三棱锥的体积是    .
【答案】9
【解析】设正三棱锥的高为h,则有h==,所以V=××6×3×=9.



【课堂导学】


空间几何体的体积

例1 (2016·苏北四市摸底)底面边长为2,侧棱长为的正四棱锥的体积为    .
【答案】

(例1)
【解析】如图,在正四棱锥S-ABCD中,底面边长为2,侧棱长为,点O为底面ABCD的中心,则SO⊥平面ABCD.取BC的中点E,连接OE,SE,则OE=BE=1.在Rt△SBE中,SE===,在Rt△SOE中,SO===1,从而该正四棱锥的体积V=×S四边形ABCD×SO=×2×2×1=.

变式 (2016·常州期末)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2,锐角为60°的菱形,侧棱PA⊥底面ABCD,PA=3.若点M是BC的中点,则三棱锥M-PAD的体积为    .
【答案】
【解析】因为S△ADM=2S△ABC-S△ABM-S△MDC=2××2×2×sin 60°-×2×1×sin 60°-×2×1×sin 120°=,PA⊥底面ABCD,==×3×=.


空间图形的翻折问题

例2 如图(1),在矩形ABCD中,AB=2AD,E是CD的中点,以AE为折痕将△ADE向上折起,使D移动到P点位置,且PC=PB.
(1)若F是BP的中点,求证:CF∥平面APE;
(2)求证:平面APE⊥平面ABCE.

(例2(1))
【分析】本题主要考查线面、面面位置关系的证明.(1)利用面面平行证明线面平行;(2)取AE,BC的中点,利用已知的两个等腰三角形得出线线垂直,进而得出线面垂直、面面垂直.
【解答】(1)如图(2),取AB的中点G,连接GF,GC.

(例2(2))
因为EC∥AG,EC=AG=AB,
AECG为平行四边形,GC∥AE.
因为AE平面APE,CGAPE,
GC∥平面APE.
在△ABP中,GF∥AP,
AP平面APE,GFAPE,
GF∥平面APE.
又GF∩GC=G,GF,GCCGF,
CGF∥平面APE.
因为FC平面CGF,CF∥平面APE.
(2)取AE的中点O,PO,PA=PE,
PO⊥AE.
取BC的中点H,OH,PH,OH∥AB,
OH⊥BC.
因为PB=PC,BC⊥PH.
又PH∩OH=H,PH,OHPOH,
BC⊥平面POH,PO平面POH,BC⊥PO.
又因为BC与AE相交,BC,AEABCE,
PO⊥平面ABCE.
因为PO平面APE,
APE⊥平面ABCE.

变式 (2016·全国卷Ⅱ)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置.
(1)求证:AC⊥HD';
(2)AB=5,AC=6,AE=,OD'=2,D'-ABCFE的体积.

(变式)
【解答】(1)由已知得AC⊥BD,AD=CD.
AE=CF,=,AC∥EF.
所以EF⊥HD,EF⊥HD',AC⊥HD'.
(2)由EF∥AC得==.
由AB=5,AC=6,DO=BO==4.
所以OH=1,D'H=DH=3,
OD'2+OH2=(2)2+12=9=D'H2,OD'⊥OH.
由(1)知AC⊥HD',AC⊥BD,BD∩HD'=H,
AC⊥平面BHD'.又OD'平面BHD',AC⊥OD'.
又OD'⊥OH,AC∩OH=O,OD'⊥平面ABC.
由=,得EF=.
五边形ABCFE的面积S=×6×8-××3=.
所以五棱锥D'-ABCFE的体积V=××2=.


垂直与平行的探索性问题

例3 (2016·北京卷)如图(1),P-ABCD中,PC⊥ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.
(1)DC⊥平面PAC;
(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;
(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?请说明理由.

(例3(1))
【点拨】先下结论,再证明,证明时要注意逻辑关系.
【解答】(1)因为PC⊥平面ABCD,DCABCD,
PC⊥DC.
又因为DC⊥AC,AC∩PC=C,AC,PCPAC,
DC⊥平面PAC.
(2)因为AB∥DC,DC⊥AC,AB⊥AC.
又因为PC⊥平面ABCD,ABABCD,
PC⊥AB.
因为PC∩AC=C,PC,ACPAC,
AB⊥平面PAC.
因为AB平面PAB,
PAB⊥平面PAC.
(3)棱PB上存在点F,PA∥平面CEF.证明如下:
(2),取PB的中点F,连接EF,CE,CF.

(例3(2))
因为E为AB的中点,
所以EF∥PA.
又因为PA平面CEF,EF平面CEF,
所以PA∥平面CEF.

变式 如图(1),在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.
(1)求证:AP⊥BC.
(2)在线段AP上是否存在点M,使得平面AMC⊥平面BMC?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由.

 (变式(1))
【分析】可以通过直线BC⊥平面PAD来证明BC⊥AP;平面AMC⊥平面BMC,题目本意上是要找点,使得两平面垂直,因此可先考虑把面面垂直作为条件,然后去找点M需要满足的条件.
【解答】(1)因为AB=AC,DBC的中点,AD⊥BC.
因为PO⊥平面ABC,BCABC,PO⊥BC.
因为PO∩AD=O,PO,ADPAD,
BC⊥平面PAD.因为AP平面PAD,
BC⊥PA.
(2)如图(2),在平面PAB内,过点B作BM⊥PA于点M,连接CM,

 (变式(2))
由(1)知AP⊥BC.因为BM∩BC=B,BM,BC平面BMC,所以AP⊥平面BMC.
又因为AP平面APC,
所以平面BMC⊥平面APC.
在Rt△ADB中,AB2=AD2+BD2=41,AB=.
在Rt△POD中,PD2=PO2+OD2,
Rt△PDB中,PB2=PD2+BD2,
PB2=PO2+OD2+DB2=36,PB=6.
在Rt△POA中,PA2=AO2+OP2=25,PA=5.
又cos ∠BPA==,
PM=PB·cos ∠BPA=2,
AM=PA-PM=3.
综上所述,存在点M符合题意,AM=3.
【点评】(1)证明线面平行、垂直都可以通过转化为线线的平行、垂直来证明.
(2)探求符合要求的点或线的问题时可以先假设存在,即增加条件后再证明;或通过先构造平行或垂直的特殊位置上的点或线,再通过对其进行平移,来寻找正确的结果,然后再反过来直接证明.




【课堂评价】


1.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)若圆锥的母线长为10 cm,侧面积为60π cm2,则此圆锥的体积为    cm3.
【答案】96π
【解析】设圆锥的底面半径为r cm,高为h cm,则·2πr·10=60π,所以r=6 cm,从而高h=8 cm,所以此圆锥的体积V=×π×62×8=96π(cm3).

2.(2016·镇江期末)已知一个圆锥的侧面积等于底面面积的2倍,若圆锥底面半径为 cm,则圆锥的体积是    cm3.
【答案】3π
【解析】设圆锥的母线长为R,高为h.圆锥的侧面积等于S侧=×(2π×)×R,圆锥底面面积为S底=π()2=3π.
又因为圆锥的侧面积等于底面面积的2倍,故S侧=×(2π×)×R=6π,所以R=2,h==3,圆锥的体积为S底×h=×3π×3=3π.

3.(2016·泰州期末)如图,ABCD-A1B1C1D1中,OBD1的中点,O-ABD的体积为V1,O-ADD1A1的体积为V2,.

(第3题)
【答案】
【解析】因为O为BD1的中点,所以O为长方体的中心,所以==.

4.(2016·四川卷)如图(1),P-ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD.
(1)PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由;
(2)求证:平面PAB⊥平面PBD.

(第4题(1))
【解答】(1)如图(2),取棱AD的中点M(M∈平面PAD),

(第4题(2))
点M即为所求的一个点.理由如下:
因为AD∥BC,BC=AD,所以BC∥AM,且BC=AM,
所以四边形AMCB是平行四边形,从而CM∥AB.
又AB平面PAB,CMPAB,
CM∥平面PAB.
(说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)
(2)由已知,PA⊥AB,PA⊥CD.
AD∥BC,BC=AD,
所以直线AB与CD相交,
所以PA⊥平面ABCD.
因为BD平面ABCD,所以PA⊥BD.如图,取AD的中点M,连接CM,BM,BD,
因为AD∥BC,BC=AD,
所以BC∥MD,且BC=MD,
所以四边形BCDM是平行四边形,
所以BM⊥AM,BM=CD=AD,设BC=1,由AD∥BC,∠ADC=90°,BC=CD=AD,得BD=,AB=,AD=2.
因为BD2+AB2=AD2,BD⊥AB.
又AB∩AP=A,AB,APPAB,BD⊥平面PAB.
又BD平面PBD,PAB⊥平面PBD.


温馨提示:趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第7~8页.



【检测与评估】
第2讲 立体几何综合问题

一、 填空题
1.(2016·南通一调)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E是棱B1B的中点,则三棱锥B1-ADE的体积为    .

2.(2016·苏锡常镇一调)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P是棱BB1的中点,则四棱锥P-AA1C1C的体积为    .

(第2题)

3.(2016·南京学情调研)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2,E为棱CC1的中点,则三棱锥A1-B1C1E的体积为    .

4.(2016·苏锡常镇二调)设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1,S1,底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2,S2,若=,则的值为    .

5.(2016·南京、盐城、连云港、徐州二模)如图,ABC-A1B1C1中,AB=4,AA1=6.E,FBB1,CC1,A-A1EF的体积是    .

(第5题)

6.(2016·苏北四市期末)已知矩形ABCD的边AB=4,BC=3,若沿对角线AC折叠,使平面DAC⊥平面BAC,则三棱锥D-ABC的体积为    .


二、 解答题
7.如图,P-ABC中,PA⊥ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°.
(1)P-ABC的体积;
(2)求证:在线段PC上存在点M,使得AC⊥BM,并求的值.

 (第7题)


8.(2016·南通中学)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=a,∠ABC=60°,平面ACEF⊥平面ABCD,四边形ACEF是矩形,点M在线段EF上.
(1)求证:BC⊥平面ACEF;
(2)当FM为何值时,AM∥平面BDE?证明你的结论.

(第8题)


9.(2016·全国卷Ⅲ)如图,P-ABCD中,PA⊥ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,MAD上一点,AM=2MD,NPC的中点.
(1)求证:MN∥平面PAB;
(2)求四面体N-BCM的体积.

(第9题)


10.如图(1),在等腰梯形PDCB中,PB=3,DC=1,PD=BC=,A为PB边上一点,且PA=1.将△PAD沿AD折起,使平面PAD⊥平面ABCD,如图(2).
(1)求证:平面PAD⊥平面PCD;
(2)试在棱PB上确定一点M,使得截面AMC将几何体分成的两部分VPDCMA∶VMACB=2∶1;
(3)在M满足(2)的情况下,判断直线PD是否平行平面AMC.
图(1)              图(2)
(第10题)

【检测与评估答案】
第2讲 立体几何综合问题

一、 填空题
1.  【解析】==×AD×=×1××1×=.

2.  【解析】四棱锥P-AA1C1C可看作:半个正方体割去三棱锥P-ABC和P-A1B1C1,则=--=--=.

3.  【解析】=,因为直三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2,E为棱CC1的中点,所以三棱锥E-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,高EC1=1,因此=·EC1=××1=,故三棱锥A1-B1C1E的体积为.

4.  【解析】不妨设V1=27,V2=9π,故V1=a3=27,即a=3,所以S1=6a2=54.又V2=πr2×h=πr3=9π,即r=3,所以l=r,即S2=l×2πr=πr2=9π,所以==.

5. 8 【解析】因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1∥BB1,AA1平面AA1C1C,BB1平面AA1C1C,所以BB1∥平面AA1C1C,从而点E到平面AA1C1C的距离就是点B到平面AA1C1C的距离,作BH⊥AC,垂足为点H,由于△ABC是正三角形且边长为4,所以BH=2,从而三棱锥A-A1EF的体积==·BH=××6×4×2=8.

6.  【解析】在平面DAC内作DO⊥AC,垂足为点O.因为平面DAC⊥平面BAC,且平面DAC∩平面BAC=AC,所以DO⊥平面BAC.因为AB=4,BC=3,所以DO=,S△ABC=×3×4=6,所以三棱锥D-ABC的体积为V=×6×=.


二、 解答题
7. (1) 在△ABC中,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,
所以S△ABC=AB·AC·sin ∠BAC=×1×2×sin 60°=.
因为PA⊥平面ABC,
所以PA是三棱锥P-ABC的高,
所以=PA·S△ABC=×1×=.
(2) 过点B作BN垂直AC于点N,过N作NM∥PA交PC于点M,易知MN⊥平面ABC.
又AC平面ABC,所以MN⊥AC.
因为MN∩BN=N,MN,BN平面BMN,
所以AC⊥平面BMN.
又BM平面BMN,所以AC⊥BM.
此时M即为所求点.
在△ABN中,易知AN=,所以===,
所以=.


8. (1) 由题意知,四边形ABCD为等腰梯形,且AB=2a,BC=a,AC=a,因为AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC.
又平面ACEF⊥平面ABCD,平面ACEF∩平面ABCD=AC,
所以BC⊥平面ACEF.

(第8题)
(2) 当FM=a时,AM∥平面BDE.理由如下:
如图,在梯形ABCD中,设AC∩BD=N,
连接EN,则CN∶NA=1∶2.
因为FM=a,EF=AC=a,
所以EM=AN.又EM∥AN,
所以四边形EMAN为平行四边形,
所以AM∥NE.
又NE平面BDE,AM平面BDE,
所以AM∥平面BDE.


9. (1) 由已知得AM=AD=2,如图,取BP的中点T,连接AT,TN.由N为PC的中点知TN∥BC,且TN=BC=2.
又AD∥BC,所以TNAM,
所以四边形AMNT为平行四边形,所以MN∥AT.
因为AT平面PAB,MN平面PAB,
所以MN∥平面PAB.

(第9题)
(2) 因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,
所以N到平面ABCD的距离为PA.
如图,取BC的中点E,连接AE.由AB=AC=3,得AE⊥BC,AE==.
由AM∥BC得M到BC的距离为,
故S△BCM=×4×=2,
所以四面体N-BCM的体积=×S△BCM×=.


10. (1) 由题意知CD⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,CD平面ABCD,
所以DC⊥平面PAD.又DC平面PCD,
所以平面PAD⊥平面PCD.

 (第10题)
(2) 由(1)易知PA⊥平面ABCD,
因为PA平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABCD.
如图,在PB上取一点M,作MN⊥AB,则MN⊥平面ABCD.
设MN=h,则=S△ABC·h=××2×1×h=,
=(S△ABC+S△ADC)·PA=××1×1=.
要使VPDCMA∶VMACB=2∶1,即∶=2∶1,解得h=,即M为PB的中点.
(3) 连接BD交AC于点O,因为AB∥CD,AB=2,CD=1,由相似三角形易得BO=2OD,
所以O不是BD的中点.
因为M为PB的中点,
所以在△PBD中,OM与PD不平行,
所以OM所在直线与PD所在直线相交.
又OM平面AMC,所以直线PD与平面AMC不平行.














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