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【南方凤凰台】2017届高考数学(理)二轮复习提优导学案(江苏专用):第1部分 二轮课时专题1 三角函数和平面向量 后记 答题模板

资料类别: 数学/学案

所属版本: 通用

所属地区: 江苏

上传时间:2017/1/11

下载次数:66次

资料类型:

文档大小:242KB

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后 记  答题模板
【范例赏析】
后 记 答题模板
(本讲对应学生用书第7~8页)

范 例 赏 析

典例 如图,现有一个以∠AOB为圆心角、湖岸OA与OB为半径的扇形湖面AOB. 现欲在上取不同于A,B的点C,用渔网沿着(在扇形AOB的上)、半径OC和线段CD(其中CD∥OA)在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ.若OA=1 km,∠AOB=,∠AOC=θ.
(1)用θ表示CD的长度;
(2)求所需渔网长度(即图中、半径OC和线段CD长度之和)的取值范围.
  
(典例)

【思维引导】


【规范解答】
(1)由CD∥OA,∠AOB=,∠AOC=θ,∠OCD=θ,∠ODC=,∠COD=-θ.
在△OCD中,,CD=sin,θ∈. 6分
(2)设渔网的长度为f(θ).
由(1)可知,f(θ)=θ+1+sin, 8
所以f'(θ)=1-cos,因为θ∈,所以-θ∈. 10分
令f'(θ)=0,得cos=,所以-θ=,即θ=. 12分
列表如下:
θ							f'(θ)	+	0	-		f(θ)	↗	极大值	↘		
所以f(θ)∈.
故所需渔网长度的取值范围是(单位:km). 14分

【总结提升】 
(1)本题中,角θ的取值范围决定着最终的结果,所以角θ的范围必须时刻注意.自变量取值范围是解实际问题的关键所在.
(2)与解三角形有关的应用题常见两种情形:一是实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;二是实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形,这时需要作出这些三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要的解.
(3)以三角模型为基础,结合导数求解最值是考查热点.求解时,一般极值点的选取是特殊点,这一点可作为回代检验.



【拓展训练】
拓 展 训 练

变式1 (必修4 P132复习题18)如图,在半径为R,圆心角为60°的扇形AOB的上任取一点P,作扇形的内接矩形PNMQ,使点Q在OA上,点M,N在OB上,求这个矩形面积的最大值及相应的∠AOP的值.

   (变式1)
【分析】(1)在Rt△PON中,设∠PON=θ,利用直角三角形中的边角关系求得PN=Rsinθ,ON=Rcosθ,以及MQ和OM,可得矩形MNPQ的面积.(2)由S的解析式并利用正弦函数的定义域及值域知,当2θ+30°=90°时,sin(2θ+30°)max=1,可得当θ=30°时,Smax=R2-R2,由此可得结论.
【解答】在Rt△PON中,设∠PON=θ,0<θ<60°,则PN=Rsinθ,ON=Rcosθ.
因为四边形PNMQ为矩形,所以MQ=PN=Rsinθ.
故在Rt△OMQ中,OM==Rsinθ,所以MN=ON-OM=Rcosθ-Rsinθ.
则S=PN·MN=RsinθRcosθ-Rsinθ=R2sinθcosθ-sin2θ
=R2sin2θ-×=R2.
因为当2θ+30°=90°时,[sin(2θ+30°)]max=1,
所以当θ=30°时,Smax=R2-R2=R2,
所以矩形PNMQ面积的最大值为R2,相应的∠AOP=30°.
【点评】本题主要考查直角三角形中的边角关系,三角函数的恒等变换,正弦函数的定义域和值域,属于中档题.

变式2 如图(1),某广场中间有一块扇形绿地OAB,其中O为扇形所在圆的圆心,∠AOB=60°,广场管理部门欲在绿地上修建观光小路,在上选一点C,过C修建与OB平行的小路CD,与OA平行的小路CE,问:C应选在何处,才能使得修建的道路CD与CE的总长最大?请说明理由.

(变式2(1))
【分析】由题意,得四边形ODCE是平行四边形,连接OC,设OC=r,OD=x,OE=y,可得在△OCD中,∠ODC=120°,∠AOB=60°,利用余弦定理得r2=x2+y2+xy,再由基本不等式算出x+y≤r,当且仅当x=y=r时等号成立,由此可得当点C取在弧AB的中点时,可使修建的道路CD与CE的总长最大.
【解答】如图(2),根据题意,四边形ODCE是平行四边形.

(变式2(2))
因为∠AOB=60°,所以∠ODC=120°,
连接OC,设OC=r,OD=x,OE=y,
在△OCD中,根据余弦定理得OC2=OD2+DC2-2OD·DCcos 120°,即r2=x2+y2+xy,
所以(x+y)2=r2+xy≤r2+,解得(x+y)2≤r2,
故x+y≤r,当且仅当x=y=r时,等号成立,
所以x+y的最大值为r,此时C为的中点.
答:当点C取在的中点时,可使修建的道路CD与CE的总长最大.
【点评】本题给出圆心角为60°的扇形场地,求修建道路CD与CE的总长最大值,着重考查了利用余弦定理解三角形、基本不等式求最值等知识,属于中档题.














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