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【新步步高】2017版高考数学(文 全国乙卷)二轮复习与增分策略三轮增分练:高考大题纵横练(1)

资料类别: 数学/同步

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高考大题纵横练
高考大题纵横练(一)
1.(2016·四川)我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求直方图中a的值;
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,说明理由;
(3)估计居民月均用水量的中位数.
解 (1)由频率分布直方图可知,月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5=0.04.
同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5)等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.
由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a,
解得a=0.30.
(2)由(1)知,100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布,可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36 000.
(3)设中位数为x吨.
因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5.
而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5.
所以2≤x<2.5.
由0.50×(x-2)=0.5-0.48,解得x=2.04.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.
2.(2016·山东)设f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g的值.
解 (1)f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2
=2sin2x-(1-2sin xcos x)
=(1-cos 2x)+sin 2x-1
=sin 2x-cos 2x+-1
=2sin+-1.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(2)由(1)知f(x)=2sin+-1,
把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变).得到y=2sin+-1的图象.
再把得到的图象向左平移个单位,
得到y=2sin x+-1的图象,
即g(x)=2sin x+-1.
所以g=2sin +-1=.
3.(2016·山东)在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB.

(1)已知AB=BC,AE=EC.求证:AC⊥FB;
(2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH∥平面ABC.
证明 (1)因为EF∥DB,所以EF与DB确定平面BDEF,
如图,连接DE.因为AE=EC,D为AC的中点,

所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.
又BD∩DE=D,所以AC⊥平面BDEF.
因为FB平面BDEF,所以AC⊥FB.
(2)设FC的中点为I,连接GI,HI.

在△CEF中,因为G是CE的中点,
所以GI∥EF.又EF∥DB,
所以GI∥DB.
在△CFB中,因为H是FB的中点,所以HI∥BC.
又HI∩GI=I,
所以平面GHI∥平面ABC,
因为GH平面GHI,所以GH∥平面ABC.
4.设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*).
(1)若a1=-2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列{an}的前n项和Sn;
(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2-,求数列{}的前n项和Tn.
解 (1)由已知,得b7=2a7,b8=2a8=4b7,
有2a8=4×2a7=2a7+2.
解得d=a8-a7=2.
所以Sn=na1+d=-2n+n(n-1)=n2-3n.
(2)函数f(x)=2x在(a2,b2)处的切线方程为y-2a2=(2a2ln 2)(x-a2),
它在x轴上的截距为a2-.
由题意知,a2-=2-,
解得a2=2.
所以d=a2-a1=1,从而an=n,bn=2n.
所以Tn=+++…++,
2Tn=+++…+.
因此2Tn-Tn=1+++…+-
=2--=.
所以Tn=.
5.设函数f(x)=ln x+,k∈R.
(1)若曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线x-2=0垂直,求f(x)的单调递减区间和极小值(其中e为自然对数的底数);
(2)若对任意x1>x2>0,f(x1)-f(x2)0).
∵曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线x-2=0垂直,
∴此切线的斜率为0,即f′(e)=0,有-=0,k=e.
∴f′(x)=-=(x>0).
由f′(x)<0,得00,得x>e.
∴f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,当x=e时,f(x)取得极小值f(e)=ln e+=2,
故f(x)的单调递减区间为(0,e),极小值为2.
(2)条件等价于对任意x1>x2>0,f(x1)-x10),
∴(*)等价于h(x)在(0,+∞)上单调递减.
由h′(x)=--1≤0在(0,+∞)上恒成立,得
k≥-x2+x=-(x-)2+(x>0)恒成立,
∴k≥(h′(x)=0仅在x=时成立),
故k的取值范围是[,+∞).
6.设椭圆C:+=1(a>b>0)的一个顶点与抛物线C:x2=4y的焦点重合,F1,F2分别是椭圆的左,右焦点,且离心率e=,过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若·=-2,求直线l的方程;
(3)若AB是椭圆C经过原点O的弦,MN∥AB,求证:为定值.
(1)解 由题意知,椭圆的一个顶点为(0,),
即b=,e==,∴a=2,
∴椭圆的方程为+=1.
(2)解 由题意可知,直线l与椭圆必相交.
①当直线斜率不存在时,经检验不合题意.
②当斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),且M(x1,y1),N(x2,y2).
由得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,
x1+x2=,x1x2=,
·=x1x2+y1y2
=x1x2+k2[x1x2-(x1+x2)+1]
=+k2(-+1)==-2,
解得k=±,
故直线l的方程为y=(x-1)或y=-(x-1),
即x-y-=0或x+y-=0.
(3)证明 设M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4),由(2)可得
|MN|=|x1-x2|
=
=
=,
由消去y并整理得x2=,
|AB|=|x3-x4|=4 ,
∴==4,为定值.













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