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【课堂新坐标】2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案:3.3 二倍角的三角函数

资料类别: 数学/学案

所属版本: 北师大版

所属地区: 全国

上传时间:2017/1/13

下载次数:138次

资料类型:

文档大小:398KB

所属点数: 0

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§3 二倍角的三角函数

1.掌握倍角公式与半角公式及公式的推导方法.(重点)
2.能利用倍角公式与半角公式进行三角函数的求值、化简、证明.(重点)
3.能利用倍角公式与半角公式解决一些简单的实际问题.(难点)


[基础·初探]
教材整理 二倍角公式与半角公式
阅读教材P124~P127练习2以上部分,完成下列问题.
1.二倍角公式

2.半角公式
(1)sin=± ;
(2)cos=± ;
(3)tan=± ==.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)对任意αR,总有sin 2α=2sin α.(  )
(2)对任意αR,总有cos 2α=1-2cos2α.(  )
(3)对任意αR,总有tan 2α=.(  )
(4)sin 22°30′cos 22°30′=.(  )
【解析】 (1)sin 2α=2sin αcos α,所以(1)错.
(2)cos 2α=2cos2α-1,所以(2)错.
(3)α≠+(kZ)时,有tan 2α=,所以(3)错.
(4)sin 22°30′cos 22°30′=×2sin 22°30′cos 22°30′=sin 45°=,所以(4)对.
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问2:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问3:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________

[小组合作型]
	倍角及半角公式的直接应用		 已知cos α=,α为第四象限的角,求tan 的值.
【精彩点拨】 根据条件求出sin α,然后求出cos α,利用半角公式求tan.
【自主解答】 α为第四象限的角,cos α=,
sin α=-=-.
tan α==-.
α为第四象限角,
是第二或第四象限的角,
tan <0.
由tan α=,得tan=.

在求半角的正切tan时,用tan=±来处理,要由α所在的象限确定所在的象限,再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号;而用tan=或tan =来处理,可以避免这些问题,尤其是tan =,分母是单项式,容易计算.因此常用tan=求半角的正切值.

[再练一题]
1.已知sin α+cos α=,且0<α<π,求sin 2α,cos 2α,tan 2α的值. 

【解】 sin α+cos α=,
sin2α+2sin αcos α+cos2α=,
sin 2α=-1=-,且sin αcos α=-<0.
又0<α<π,
sin α>0,cos α<0,
sin α-cos α>0,
sin α-cos α===,
cos 2α=cos2α-sin2α
=(cos α-sin α)(cos α+sin α)
=-×=-,
tan 2α==
=.
	利用倍角公式、半角公式化简		 化简:(1);
(2)+,其中π<α<.
【精彩点拨】 (1)先把切化弦,再用二倍角公式化简.
(2)用半角公式脱去根号,根据角的取值范围化简.
【自主解答】 (1)原式==
=
==2.
(2)π<α<,<<,
=|cos |=-cos ,
=|sin |=sin ,
+
=+
=+
=-cos .


已知三角函数式的值,求其他三角函数式的值,一般思路为:
(1)先化简已知或所求式子;
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手);
(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.

[再练一题]
2.设α,化简:
【解】 α∈,
cos α>0,cos <0.
故原式=
=
===-cos .
[探究共研型]
	三角恒等变形的综合应用		探究1 倍角公式成立的条件是什么?
【提示】 由任意角的三角函数的定义可知,S2α,C2α中的角α是任意的,但要使T2α有意义,需要α≠+(kZ).
探究2 半角公式适用条件是什么?
【提示】 cos =±,sin =
±,αR.
tan =±=中,α≠2kπ+π,kZ,
tan =中,α≠kπ,kZ.
探究3 在什么条件下,sin 2α=2sin α成立?
【提示】 一般情况下,sin 2α≠2sin α,只有当α=2kπ(kZ)时,sin 2α=2sin α才成立.
探究4 怎样把asin x+bcos x化成Asin(ωx+φ)形式?
【提示】 asin x+b cos x=·
=(sin xcos φ+cos xsin φ)=sin (x+φ).
 已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)当x时,求函数f(x)的最大值及相应的x值.
【精彩点拨】 把f(x)化成Asin(ωx+φ)的形式,再研究其性质.
【自主解答】 f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x
=2sin.
(1)令2kπ-≤2x+≤2kπ+(kZ),
得kπ-≤x≤kπ+(kZ),
f(x)的单调递增区间为(kZ).
(2)由x,可得≤2x+≤.
所以,当2x+=,即x=时,
f(x)取最大值,最大值为2.

首先利用倍角公式及两角和的正弦公式,将f(x)转化为只含一个角的三角函数的形式,即利用化归的思想转化为形如y=Asin(ωx+φ)的形式,再研究f(x)的有关性质,注意使用整体代换的思想将ωx+φ看成一个整体去讨论最值及单调性问题.

[再练一题]
3.设函数f(x)=-sin2ωx-sin ωxcos ωx(ω>0),且y=f(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
【解】 (1)f(x)=-sin2ωx-sin ωxcos ωx
=-·-sin 2ωx
=cos 2ωx-sin 2ωx
=-sin.
因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.又ω>0,所以=4×,因此ω=1.
(2)由(1)知f(x)=-sin,当π≤x≤时,≤2x-≤,
所以-≤sin≤1,
因此-1≤f(x)≤.
故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为,-1.

1.tan 15°等于(  )
A.2+     	B.2-
C.+1 	D.-1
【解析】 由tan =,得tan 15°==2-.
【答案】 B
2.若sin =,则cos α=(  ) 

A.- 	B.-
C. 	D.
【解析】 cos α=1-2sin2=1-2×2=.
【答案】 C
3.已知cos α=,270°<α<360°,则cos的值为________.
【解析】 因为270°<α<360°,所以135°<<180°,所以cos<0.又cos α=2cos2-1,所以cos =
-=-.
【答案】 -
4.已知cos 2θ=,则sin4θ+cos4θ=________.
【解析】 sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ
=1-sin22θ=1-(1-cos22θ)=.
【答案】 
5.求证:=tan θ.
【证明】 左边==
==tan θ=右边.原式得证.

我还有这些不足:
(1)______________________________________________________________
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我的课下提升方案:
(1)______________________________________________________________
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