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【课堂新坐标】2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案:3.2.3 两角和与差的正切函数

资料类别: 数学/学案

所属版本: 北师大版

所属地区: 全国

上传时间:2017/1/13

下载次数:151次

资料类型:

文档大小:364KB

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2.3 两角和与差的正切函数


1.能利用两角和(或差)的正弦、余弦公式导出两角和(或差)的正切公式.(重点)
2.掌握公式Tα±β及其变形式,并能利用这些公式解决化简、求值、证明等问题.(难点)


[基础·初探]
教材整理 两角和与差的正切公式
阅读教材P121例4以上部分,完成下列问题.
两角和与差的正切公式
名称	简记符号	公式	使用条件		两角和的正切	T(α+β)	tan(α+β)=	α,β,α+β≠kπ+(kZ)且tan α·tan β≠1		两角差的正切	T(α-β)	tan(α-β)=	α,β,α-β≠kπ+(kZ)且tan α·tan β≠-1		1.变形公式
tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β);
tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β);
tan αtan β=1-.
2.公式的特例
tan=;
tan=.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)tan αtan β,tan(α+β),tan α+tan β三者知二,可表示或求出第三个.(  )
(2)tan能用公式tan(α+β)展开.(  )
(3)存在α,βR,使tan(α+β)=tan α+tan β成立.(  )
(4)公式T(α±β),对任意α,β都成立.(  )
【解析】 由T(α±β)知,(1)对,(2)错,(4)错.
对于(3),存在α=,β=-.
此时,tan(α+β)=tan α+tan β=0.
【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)×
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问2:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问3:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________

[小组合作型]
	两角和与差的正切公式的灵活运用		 求下列各式的值.
(1);
(2)tan 23°+tan 37°+tan 23 °tan 37°.
【精彩点拨】 解决(1)题可考虑=tan 60°,再逆用公式,解决(2)题注意到23°+37°=60°,而tan 60°=,故联想tan(23°+37°)的展开形式,并变形,即可解决.
【自主解答】 (1)原式=
=tan 75°=tan(45°+30°)
====2+.
(2)∵tan(23°+37°)=tan 60°
==,
tan 23°+tan 37°=(1-tan 23°tan 37°),
原式=(1-tan 23°tan 37°)+tan 23°tan 37°=.

1.若化简的式子里出现了“tan α±tan β”及“tan αtan β”两个整体,常考虑tan(α±β)的变形公式.
2.解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是:
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差,利用公式直接求值.
(2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角差的正切公式的结构形式,然后逆用公式求值.

[再练一题]
1.(1)tan 15°+tan 30°+tan 15°tan 30°;
(2)(3+tan 30°·tan 40°+tan 40°·tan 50°+tan 50°·tan 60°)·tan 10°.
【解】 (1)tan 15°+tan 30°=tan(15°+30°)(1-tan 15°·tan 30°)
=tan 45°(1-tan 15°·tan 30°)
=1-tan 15°·tan 30°,
所以原式=1-tan 15°·tan 30°+tan 15°·tan 30°
=1.
(2)原式=(1+tan 30°tan 40°+1+tan 40°tan 50°+1+tan 50°tan 60°)·tan 10°,
因为tan 10°=tan(40°-30°)=,
所以1+tan 40°tan 30°=.
同理,1+tan 40°tan 50°=,
1+tan 50°tan 60°=.
所以原式=
·tan 10°
=tan 40°-tan 30°+tan 50°-tan 40°+tan 60°-tan 50°
=-tan 30°+tan 60°=-+=.
	给值求角		 已知α,β(0,π),且tan(α-β)=,tan β=-.求(2α-β)的值. 

【精彩点拨】 先由α=(α-β)+β,求出tan α,再由2α-β=(α-β)+α求出tan(2α-β),然后根据α,β的范围,求出2α-β的值.
【自主解答】 tan(α-β)=,tan β=-.
tan α=tan [(α-β)+β]
=
==.
tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]
=
==1.
0<α<,又0<β<π,tan β=->-1.
<β<π,
-π<-β<-,
-π<α-β<-,
-π<2α-β<-,
2α-β=-.

1.本题中隐含着角α,β的范围,需通过tan α,tan β的值缩小其范围.
2.已知某三角函数值求角问题,通常分两步:(1)先求角的某个三角函数值(由题中已知名称和范围确定);(2)根据角的范围确定角,必要时可利用值缩小角的范围.

[再练一题]
2.已知tan α,tan β是方程x2+3 x+4=0的两根,
-<α<,-<β<,求α+β的值.
【解】 tan α+tan β=-3 <0,tan αtan β=4>0,
tan α<0,tan β<0.
-<α<,-<β<,
-<α<0,-<β<0,-π<α+β<0.
tan(α+β)===,
α+β=-.
[探究共研型]
	正切公式的综合应用		探究1 β与α-β怎样建立联系?
【提示】 β=α-(α-β).
探究2 若α+β=π,则tan α与tan β存在怎样关系?
【提示】 tan α=tan(π-β)=-tan β.
探究3 在ABC中,A,B,C三个角有什么关系?
【提示】 A+B+C=π或+=-.
 在ABC中,tan B+tan C+tan Btan C=,且tan A+tan B+1=tan Atan B,判断ABC的形状.
【精彩点拨】 可先求出tan(B+C)和tan(A+B)的值.再由诱导公式分别求tan A和tan C的值,从而可得A,B,C可判断三角形形状.
【自主解答】 tan A=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)
===-,
又0°
        
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