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【课堂新坐标】2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案:3.2.1+2.2 两角和与差的正弦、余弦函数

资料类别: 数学/学案

所属版本: 北师大版

所属地区: 全国

上传时间:2017/1/13

下载次数:149次

资料类型:

文档大小:366KB

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2.1 两角差的余弦函数
2.2 两角和与差的正弦、余弦函数


1.了解两角差的余弦公式的推导过程.
2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦公式,两角和的正弦、余弦公式.(重点)
3.会利用公式解决简单的化简求值问题.(难点)


[基础·初探]
教材整理 两角和与差的正弦、余弦函数
阅读教材P118~P120练习以上部分,完成下列问题.
1.两角差的余弦公式
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.(Cα-β)
2.两角和的余弦公式
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.(Cα+β)
3.两角和与差的正弦公式
(1)sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.(Sα+β),
(2)sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.(Sα-β).

判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两角和与差的余弦公式中,角α,β是任意的.(  )
(2)sin(α+β)=sin α+sin β一定不成立.(  )
(3)sin(α-β)=sin βcos α-sin αcos β.(  )
(4)存在α,β,使cos(α-β)=cos α+cos β.(  )
【解析】 (1)√.
(2)×.如当α=,β=-时,则sin(α+β)=0.
sin α+sin β=sin +sin=0,
当α=,β=-时,sin(α+β)=sin α+sin β.
(3)×.sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
(4)√.如α=,β=时,
cos(α-β)=cos α+cos β.
【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问2:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问3:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________

[小组合作型]
	给角求值		 求值:(1)sin 15°+cos 15°;
(2)sin 119°sin 181°-sin 91°sin 29°.
【精彩点拨】 解答本题首先把非特殊角向特殊角转化成创造条件逆用公式,然后再应用公式求解.
【自主解答】 (1)法一:sin 15°+cos 15°
=sin(45°-30°)+cos(45°-30°)
=sin 45°cos 30°-cos 45° sin 30°+cos 45°cos 30°+
sin 45° sin 30°
=×-×+×+×=.
法二:sin 15°+cos 15°
=
=sin(15°+45°)
=sin 60°=.
(2)原式=sin(29°+90°)sin(1°+180°)-sin(1°+90°)·sin 29°
=cos 29°(-sin 1°)-cos 1°sin  29°
=-(sin 29° cos 1°+cos 29° sin 1°)
=-sin(29°+1°)=-sin 30°=-.


1.解决此类问题的关键是将非特殊角的三角函数求值问题,转化为特殊角的三角函数求值问题.
2.化为特殊角的和与差的形式,公式中只有两个角,运用公式时,务必熟记公式的结构特征和符号规律.

[再练一题]
1.求值:(1)cos(x+27°)·cos(x-18°)+sin(x+27°)·
sin(x-18°);
(2)cos 105°+sin 195°的值.
【解】 (1)cos(x+27°)cos(x-18°)+sin(x+27°)·sin(x-18°)
=cos[(x+27°)-(x-18°)]
=cos 45°
=.
(2)cos 105°+sin 195°=cos 105°-sin 15°
=cos(60°+45°)-sin(60°-45°)
=cos 60°cos 45°-sin 60°·sin 45°-sin 60°cos 45°+cos 60°·sin 45°
=×-×-×+×
=.
	给值求值		 已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-.求sin 2α的值.
【精彩点拨】 由于2α=(α-β)+(α+β),故可用两角和的正弦公式求解.
【自主解答】 <β<α<,
0<α-β<,π<α+β<,
sin(α-β)==,
cos(α+β)=-=-.
sin 2α=sin[(α-β)+(α+β)]
=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)
=×+×
=-.

1.给值求值问题主要有两类:一是直接利用公式展开后求值.二是变角求值.即将问题中的角表示成已知角的和或差整体求值.在计算中要注意根据角的取值范围确定三角函数值的符号.
2.常见的变角技巧:
2α=(α+β)+(α-β),
2β=(α+β)-(α-β),
α=(α+β)-β,β=(α+β)-α等.

[再练一题]
2.已知α,β是锐角,且sin α=,cos(α+β)=-,求sin β的值. 

【解】 α是锐角,且sin α=,
cos α===.
又sin(α+β)==
=,
sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)
sin α=×-×=.
[探究共研型]
	给值求角问题		探究1 给值求角的实质是什么?
【提示】 给值求角即求该角的某种三角函数值.
探究2 给值求角的关键是什么?
【提示】 关键是变角,把所求角用含已知角的式子表示.
探究3 常用的角的变换技巧有哪些?
【提示】 互余或互补关系的应用,如-α与+α互余,+α与π-α互补等.
 已知α,β,且cos(α-β)=,sin β=-,求α.
【精彩点拨】 先计算sin α后再根据α确定角α大小.
【自主解答】 α∈,β,
α-β(0,π).
cos(α-β)=,
sin(α-β)=.
β∈,sin β=-,cos β=,
sin α=sin[(α-β)+β]
=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β
=×+×=.
又α∈,α=.

1.解决这类问题,关键有两点:(1)求出所求角的某种三角函数值;(2)确定角的范围.一旦做好这两个环节,结合三角函数的性质与图像,便可求解.
2.确定求所求角的哪种三角函数值,要根据具体题目,结合所给角的范围确定. 注意本题解答中如果求出sin(α+β)=,可能就会导致α+β=或.

[再练一题]
3.已知α,β都是锐角,且sin α=,sin β=.求α+β的值.
【解】 因为α,β都是锐角,所以0<α<,0<β<,
0<α+β<π,又sin α=,sin β=,
所以cos α==,cos β=,
所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=.
又0<α+β<π,
所以α+β=.

1.cos 66°·cos 36°+cos 24°·cos 54°的值为(  )
A.0     	B.
C. 	D.-
【解析】 cos 66°·cos 36°+cos 24°·cos 54°
=cos 66°·cos 36°+sin 66°·sin 36°
=cos(66°-36°)=cos 30°
=.
【答案】 C
2.若a=(cos 60°,sin 60°),b=(cos 15°,sin 15°),则a·b=________.
【解析】 a·b=cos 60° ·cos 15°+sin 60°·sin 15°
=cos(60°-15°)
=cos 45°
=.
【答案】 
3.cos 345°的值为________. 

【解析】 cos 345°=cos(360°-15°)=cos 15°
=cos(45°-30°)
=cos 45°·cos 30°+sin 45°·sin 30°
=.
【答案】 
4.若cos α=-,α是第三象限的角,则sin=________.
【解析】 因为α为第三象限的角,所以sin α=-=-,
所以sin=sin α·cos+cos α·sin=
-×+×=-.
【答案】 -
5.已知sin=,求.
【解】 
=
=(cos α-sin α)
=2
=2sin
=.


我还有这些不足:
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案:
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________














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