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【课堂新坐标】2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案:3.1 同角三角函数的基本关系

资料类别: 数学/学案

所属版本: 北师大版

所属地区: 全国

上传时间:2017/1/13

下载次数:159次

资料类型:

文档大小:704KB

所属点数: 0

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§1 同角三角函数的基本关系

1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,=tan α.(重点)
2.会利用这两个公式求三角函数式的值,化简三角函数式或证明三角恒等式.(难点)


[基础·初探]
教材整理 同角三角函数的基本关系
阅读教材P113~P116练习2以上部分,完成下列问题.
1.关系式
(1)平方关系:sin2α+cos2 α=__1__;
(2)商数关系:=tanα,=cotα.
2.文字叙述
同一个角 α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角 α的正切.
3.变形形式
(1)1=sin2 α+cos2 α;
(2)sin2 α=1-cos2α;cos2 α=1-sin2α;
(3)sin α=± ;cos α=± ;
(4)sin α=cos αtan α;
(5)(sin α±cos α)2=1±2sinαcosα.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)由于平方关系对任意角都成立,则sin2α+cos2β=1也成立.(  )
(2)对任意角α,=tan .(  )
(3)利用平方关系求sin α或cos α时,会得到正负两个值.(  )
(4)当α≠(kZ)时,tan α·cot α=1.(  )
【解析】 (1)平方关系是同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,所以错误.
(2)当α=π时,cos =0,分母为0无意义,所以错误.
(3)求sin α或cos α时,应结合角的象限,判断是正或是负,因而错.
(4)正确.
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问2:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问3:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________

[小组合作型]
	利用同角三角函数的基本关系求值		 (1)若sin α=-,且α是第三象限角,求cos α,tan α的值;
(2)已知tan α=2,求的值.
【精彩点拨】 第(1)题应先利用平方关系求余弦,再由商数关系求正切;
第(2)题先把所求式化为只含一个函数的代数式,再求值.
【自主解答】 (1)sin α=-,α是第三象限角,
cos α=-=-=-,
tan α==-×=.
(2)法一:tan α=2,
===-2.
法二:tan  α=2,sin α=2cos  α,
==-2.

同角三角函数的基本关系,揭示了同一角三角函数间的关系,其最基本的应用是“知一求二”,求解时要注意根据角所在的象限,判断是一解或两解.

[再练一题]
1.已知tan α=2,试求:
(1)sin α的值;
(2)和sin αcos α的值.
【解】 因为tan α=2,所以=2,即sin α=2cos α.
又sin2α+cos2α=1,
所以sin2α+2=sin2α=1,
所以sin α=±,又tan α=2,
所以α为第一或第三象限的角,当α为第一象限角时,
sin α=.当α为第三象限角时,sin α=-.
(2)==,
sin αcos α====.
	利用sin α±cos α,sin α·cos α之间的关系求值		 已知sin θ,cos θ是方程x2-(-1)x+m=0的两根.
(1)求m的值;
(2)求+的值.
【精彩点拨】 本题主要考查韦达定理,同角三角函数的关系,由韦达定理得两根之和与两根之积的关系,通过恒等变形可得m的值.
【自主解答】 (1)sin θ,cos θ是方程x2-(-1)x+m=0的两根,

由得1+2sin θcos θ=4-2,将代入,得
1+2m=4-2,m=-.
由得m≤1-,
m=-.
(2)原式=+=+==sin θ+cos θ=-1.


1.已知角α的某一个三角函数值,求其他三角函数式的值时,一般先利用公式将其化简,再利用同角三角函数的基本关系求解.
2.sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α三个式子中,已知其中一个,可以求其他两个,即“知一求二”,它们之间的关系是:(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,利用此关系求sin α+cos α或sin α-cos α的值时,要注意判断它们的符号.

[再练一题]
2.已知0<θ<π,且sin θ+cos θ=,求sin θ-cos θ的值,及tan θ的值. 

【解】 sin θ+cos θ=,
∴(sin θ+cos θ)2=,
解得sin θcos θ=-.
∵0<θ<π,且sin θcos θ<0,
sin θ>0,cos θ<0,
sin θ-cos θ>0.
又(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=,
sin θ-cos θ=.②
由得sin θ=,cos θ=-,
tan θ==-.
[探究共研型]
	利用同角三角函数关系化简、证明		探究1 怎样理解同角三角函数关系中“同角”的含义?
【提示】 “同角”有两层含义,一是“角相同”,二是“任意”一个角.
探究2 平方关系对任意αR均成立,对吗?商数关系呢?
【提示】 平方关系中对任意αR均成立,而商数关系中α≠kπ+(kZ).
探究3 证明三角恒等式常用哪些技巧?
【提示】 切化弦,整体代换,“1”的代换.
探究4 证明三角恒等式应遵循什么样的原则?
【提示】 由繁到简.
 (1)化简tan α· ,其中α是第二象限角;
(2)求证:=.
【精彩点拨】 (1)先确定sin α,cos α的符号,结合平方关系和商数关系化简.
(2)逆用平方关系结合tan α=化简.
【自主解答】 (1)因为α是第二象限角,
所以sin α>0,cos α<0.
故tan α·=tan α·
=tan α
=·||=·=-1.
(2)证明:左边=
=
===右边.
所以原式成立.

1.化简三角函数式的一般要求:
(1)函数种类最少;
(2)项数最少;
(3)函数次数最低.
2.证明三角恒等式常用的方法有:
(1)从一边开始,证得它等于另一边;
(2)证明左右两边都等于同一个式子;
(3)变更论证,即通过化除为乘、左右相减等,转化成证明与其等价的等式.

[再练一题]
3.(1)化简:;
(2)求证:=.
【解】 (1)原式
=
=
=
=
=1.
(2)证明:法一:左边
=
=
=
===右边.
原等式成立.
法二:(sin α+cos α-1)(1+sin α)
=(sin α-1)(1+sin α)+cos α(1+sin α)
=sin2α-1-cos α(1+sin α)
=-cos2α+cos α(1+sin α)
=cos α(sin α-cos α+1)
=.

1.已知sin α=-,α是第三象限角,则tan α等于(  )
A.  	B.-  
C.  	D.-
【解析】 因为α是第三象限角,所以cos α<0,又sin α=-,
所以cos α=-=-=-,
所以tan α===.
【答案】 C
2.化简tan ·的结果是(  )
A.sin 	B.-sin
C.cos 	D.-cos
【解析】 tan ·=tan·,又cos>0,
所以原式=·cos=sin.
【答案】 A
3.已知sin α=,则sin2α-cos2α的值为________. 

【解析】 因为sin α=,所以cos2α=1-sin2α=1-2=,
sin2α-cos2α=2-=-.
【答案】 -
4.已知tan α=-,则的值是________.
【解析】 =====-.
【答案】 -
5.已知sin α=,cos α=,α是第四象限角,试求tan α的值.
【解】 sin2α+cos2α=1,
2+2=1.
化简,整理得,
m(m-8)=0,m1=0,m2=8.
当m=0时,sin α=,cos α=-,
不符合α是第四象限角,舍去.
当m=8时,sin α=-,cos α=,
tan α=-.

我还有这些不足:
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案:
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________














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