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【课堂新坐标】2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案:2.7 向量应用举例

资料类别: 数学/学案

所属版本: 北师大版

所属地区: 全国

上传时间:2017/1/13

下载次数:193次

资料类型:

文档大小:461KB

所属点数: 0

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§7 向量应用举例
7.1 点到直线的距离公式
7.2 向量的应用举例

1.了解直线法向量的概念,掌握点到直线的距离.(重点)
2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题.(难点)
3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.


[基础·初探]
教材整理 向量应用举例
阅读教材P101~P103,完成下列问题.
1.点到直线的距离公式
若M(x0,y0)是平面上一定点,它到直线l:Ax+By+C=0的距离为:d=.
2.直线的法向量
(1)定义:称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量.
(2)公式:设直线l:Ax+By+C=0,取其方向向量v=(B,-A),则直线l的法向量n=(A,B).
3.向量的应用
向量的应用主要有两方面:一是在几何中的应用;二是在物理中的应用.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)ABC是直角三角形,则·=0.(  )
(2)若,则直线AB与CD平行.(  )
(3)向量,的夹角与直线AB,CD的夹角不相等.(  )
(4)直线Ax+By+C=0的一个法向量是(A,B).(  )
【解析】 ABC是直角三角形,若A=90°,则·≠0,(1)×;两向量平行,对应的两直线可以是重合,(2)×;(3)(4)均正确.
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问2:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问3:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
[小组合作型]
	向量在平面几何中的应用		已知D是ABC中AC边上一点,且ADDC=21,C=45°,ADB=60°,求证:AB是BCD外接圆的切线.

图2-7-1
【自主解答】 设BCD外接圆的圆心为O,
半径为R,连接OB,OC,OD,取=b,
=c,=d,
则|b|=|c|=|d|,
又由题意,知和分别为120°和90°的弧.
b·d=0,b·c=|b||c|cos 120°=-R2.
又=+=c+3=c+3(d-c)=3d-2c,
=-=b-3d+2c.
·=(b-3d+2c)·b=R2+2c·b=R2-R2=0,
即,AB是O的切线.

1.解决此类问题,通常利用平面向量基本定理,将一些相关向量用选定的基底来表示,再利用运算法则,运算律以及一些重要性质进行运算,最后把结果还原为几何关系.
2.本题是将切线问题转化为两向量的垂直关系.

[再练一题]
1.已知RtABC,C=90°,设AC=m,BC=n,若D为斜边AB的中点,
(1)求证:CD=AB;
(2)若E为CD的中点,连接AE并延长交BC于F,求AF的长度(用m,n表示).
【解】 以C为坐标原点,以边CB,CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示,A(0,m),B(n,0),=(n,-m).
(1)证明:D为AB的中点,
D,
||=,||=,
||=||,即CD=AB.
(2)E为CD的中点,
E,设F(x,0),则
=,=(x,-m).
A,E,F共线,=λ,
解得(x,-m)=λ,

即x=,即F,=,
||=,
即AF=.
	向量在物理中的应用		 某人在静水中游泳,速度为4km/h.
(1)如果他径直游向河对岸,水的流速为4 km/h,他实际沿什么方向前进?速度大小为多少?
(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进(求出其与河岸夹角的余弦值即可)?他实际前进的速度大小为多少?
【精彩点拨】 解本题首先要根据题意作图,再把物理问题转化为向量的有关运算求解.
【自主解答】 (1)如图,设人游泳的速度为,水流的速度为,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则此人的实际速度为+=,根据勾股定理,||=8,且在RtACO中,COA=60°,故此人实际沿与水速夹角60°的方向前进,速度大小为8 km/h.

(2)如图,设此人的实际速度为,水流速度为.
实际速度=游速+水速,故游速为-=,
在RtAOB中,||=4,||=4,||=4.
cos∠BAO=,
故此人的前进方向与河岸夹角的余弦值为,且逆着水流方向,实际前进速度的大小为4km/h.

1.用向量解决物理问题首先要建立数学模型,把物理问题转化为数学问题,其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系.
2.速度、加速度、位移、力的合成和分解,实质上就是向量的加减法运算,求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则.
3.在数学中,向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的,这也是向量在物理中的主要应用之一.

[再练一题]
2.一架飞机从A地向北偏西60°方向飞行1 000 km到达B地,因大雾无法降落,故转向C地飞行,若C地在A地的南偏西60°方向,并且A,C两地相距2 000 km,求飞机从B地到C地的位移.
图2-7-2
【解】 法一:由题意得||=1 000,||=2 000,BAC=60°,
||2=|-|2=||2+||2-2||·||·cos 60°
=2 0002+1 0002-2×1 000×2 000×=3×106,
||=1 000(km),ABC=90°.
取AC的中点D,由||=2||且BAD=60°,
知为正南方向,有ABD=60°,于是DBC=30°.
所以飞机从B地到C地的位移的大小为1 000km,方向为南偏西30°.
法二:建立如图所示坐标系,并取a=500,则=(2acos 150°,2asin 150°)=(-a,a),
=(4acos 210°,4asin 210°)
=(-2a,-2a),
=(-a,-3a),||=2a,
即||=1 000(km).
又cos C===,C=30°.
结合图形可知的方向为南偏西30°,所以飞机从B地到C地的位移的大小为1 000km,方向为南偏西30°.
[探究共研型]
	向量在解析几何中的应用		探究1 教材中在证明点到直线的距离公式时,为什么有d=|·n0|?
【提示】 如图所示,过M作MNl于N,则d=||.在RtMPN中,||是在方向上的射影的绝对值,则|=|||cosPMN|=|||×1×cosPMN|=||×|n0|×|cosPMN|=|·n0|,
∴d=|·n0|.
探究2 你认为利用向量方法解决几何问题的关键是什么?
【提示】 关键是把点的坐标转换成向量的坐标,然后进行向量的运算.
探究3 用向量法解决几何问题常用到哪些知识?
【提示】 相等向量、共线向量、垂直向量的坐标形式经常用到.
 已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=4,及点A(1,1),M是C上的任意一点,点N在线段MA的延长线上,且=2,求点N的轨迹方程.
【精彩点拨】 要求点N的轨迹方程,需设出点N的坐标,然后利用已知条件,转化为向量关系,再利用代入法求解.
【自主解答】 设N(x,y),M(x0,y0),
由=2,得
(1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1),

即代入C方程,得
(3-2x-3)2+(3-2y-3)2=4,
即x2+y2=1.
点N的轨迹方程为x2+y2=1.

向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面:一是作为题设条件;二是作为解决问题的工具使用,充分体现了几何问题代数化的思想,是高考考查的热点之一.解决此类问题的思路是转化为代数运算,其转化途径主要有两种:一是向量平行或垂直的坐标表示;二是向量数量积的公式和性质.

[再练一题]
3.已知过点A(0,2),且方向向量为a=(1,k)的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1相交于M,N两点,若O为坐标原点,且·=12,求k及直线l的方程.
【解】 设M(x1,y1),N(x2,y2).由题意知,l的方程为y=kx+2,由得(1+k2)x2-(4+2k)x+4=0.
由根与系数的关系得,
x1+x2=,x1x2=.
·=(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2=12,
y1=kx1+2,y2=kx2+2,
x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=0,
即(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)-8=0,
(1+k2)×+2k×-8=0,解得k=,
直线l的方程为y=x+2,即x-2y+4=0.
[构建·体系]

1.一物体受到相互垂直的两个力F1,F2的作用,两力大小都为5N,则两个力的合力的大小为(  )
A.5N     	B.5N
C.5N 	D.5N
【解析】 根据向量的平行四边形法则,合力F的大小为×5=5(N).
【答案】 D
2.在四边形ABCD中,·=0,且=,则四边形ABCD是(  )
A.梯形 	B.菱形
C.矩形 	D.正方形
【解析】 由·=0,得,又=,所以与平行且相等,从而四边形ABCD是矩形.
【答案】 C
3.过点P(1,-1)且垂直于向量n=(2,-1)的直线方程为________. 

【解析】 所求直线的方向向量为m=(1,2),
所求直线的斜率为k=2,
所求直线方程为y+1=2(x-1),即2x-y-3=0.
【答案】 2x-y-3=0
4.已知点A(1,1),M(x,y),且A与M不重合,若向量与向量a=(1,2)垂直,则点M的轨迹方程为________.
【解析】 由题意得=(x-1,y-1).
因为a,所以·a=0,
所以(x-1,y-1)·(1,2)=x-1+2(y-1)=0,
即x+2y-3=0(x≠1).
【答案】 x+2y-3=0(x≠1)
5.已知ABC为直角三角形,设AB=c,BC=a,CA=b.若C=90°,试证:c2=a2+b2.
【证明】 以C点为原点建立如图所示的直角坐标系.

则A(b,0),B(0,a).
=(0,a)-(b,0)=(-b,a),
||==c.
故c2=a2+b2.

我还有这些不足:
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案:
(1)______________________________________________________________
(2)____________________________________














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