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【课堂新坐标】2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案:2.6 平面向量数量积的坐标表示

资料类别: 数学/学案

所属版本: 北师大版

所属地区: 全国

上传时间:2017/1/13

下载次数:134次

资料类型:

文档大小:344KB

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§6 平面向量数量积的坐标表示

1.掌握数量积的坐标表达式.(重点)
2.能用坐标表示两个向量的夹角,判断两个平面向量的垂直关系.(重点)
3.了解直线的方向向量的概念.(难点)


[基础·初探]
教材整理 平面向量数量积的坐标表示
阅读教材P98~P99,完成下列问题.
1.平面向量数量积的坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).
(1)a·b=x1x2+y1y2;
(2)a2=x+y,即|a|=;
(3)设向量a与b的夹角为θ,则cos θ==;
(4)ab⇔x1x2+y1y2=0.
2.直线的方向向量
给定斜率为k的直线l,则向量m=(1,k)与直线l共线,我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若两非零向量的夹角θ满足cos θ<0,则两向量的夹角θ一定是钝角.(  )
(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则||=.(  )
(3)两向量a与b的夹角公式cos θ=的使用范围是a≠0且b≠0.(  )
【解析】 (1)错误.如a=(-1,-1),b=(2,2),显然cos θ=<0,但a与b的夹角是180°,而并非钝角.
(2)正确.=(x2-x1,y2-y1),所以||=.
(3)正确.两向量a与b的夹角公式cos=有意义需x+x≠0且y+y≠0,即a≠0,且b≠0.此说法是正确的.
【答案】 (1)× (2)√ (3)√
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问2:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问3:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
[小组合作型]
	平面向量数量积的坐标运算		 已知向量a与b同向,b=(1,2),a·b=10.
(1)求向量a的坐标;
(2)若c=(2,-1),求(a+c)·b.
【精彩点拨】 根据a与b共线设出a的坐标,再利用数量坐标运算公式构建方程求得a的坐标,进而求(a+c)·b.
【自主解答】 (1)a与b同向,且b=(1,2),
a=λb=(λ,2λ)(λ>0).
又a·b=10,λ+4λ=10,λ=2,a=(2,4).
(2)法一:a+c=(4,3),(a+c)·b=4+6=10.
法二:(a+c)·b=a·b+c·b=10+0=10.

进行向量的数量积的坐标运算关键是把握向量数量积的坐标表示,运算时常有两条途径:
(1)根据向量数量积的坐标表示直接运算;
(2)先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.

[再练一题]
1.已知向量a=(4,-2),b=(6,-3),求:
(1)(2a-3b)·(a+2b);
(2)(a+b)2.
【解】 法一:(1)2a-3b=(8,-4)-(18,-9)=
(-10,5),
a+2b=(4,-2)+(12,-6)=(16,-8),
(2a-3b)·(a+2b)=-160-40=-200.
(2)a+b=(10,-5),
(a+b)2=(10,-5)×(10,-5)=100+25=125.
法二:由已知可得:a2=20,b2=45,a·b=30.
(1)(2a-3b)·(a+2b)
=2a2+a·b-6b2
=2×20+30-6×45=-200.
(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2=20+60+45=125.
	向量的夹角及垂直		 已知a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=.
(1)求|a+2b|;
(2)若(a+b)·c=,求向量a与c的夹角.
【精彩点拨】 (1)利用|a|=求解.
(2)利用cos θ=求解.
【自主解答】 (1)a+2b=(1,2)+2(-2,-4)=(-3,-6),
|a+2b|==3.
(2)b=(-2,-4)=-2(1,2)=-2a,
a+b=-a,
(a+b)·c=-a·c=.
设a与c的夹角为θ,
则cos θ===-.
0≤θ≤π,θ=π,
即a与c的夹角为π.

1.已知向量的坐标和向量的模(长度)时,可直接运用公式|a|=进行计算.
2.求向量的夹角时通常利用数量积求解,一般步骤为:
(1)先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积;
(2)再求出两向量的模;
(3)由公式cos θ=,计算cos θ的值;
(4)在[0,π]内,由cos θ的值确定角θ.

[再练一题]
2.已知a=(1,2),b=(1,λ),分别确定实数λ的取值范围,使得:
(1)a与b的夹角为直角;
(2)a与b的夹角为钝角;
(3)a与b的夹角为锐角.
【解】 a·b=(1,2)·(1,λ)=1+2λ.
(1)因为a与b的夹角为直角,所以cos θ=0,
所以a·b=0,即1+2λ=0,所以λ=-.
(2)因为a与b的夹角为钝角,
所以cos θ<0,且cos θ≠-1,
所以a·b<0,且a与b不反向.
由a·b<0,得1+2λ<0,故λ<-,
由a与b共线得λ=2,故a与b不可能反向.
所以λ的取值范围为.
(3)因为a与b的夹角为锐角,
所以cos θ>0,且cos θ≠1,
所以a·b>0且a,b不同向.
由a·b>0,得λ>-,由a与b同向得λ=2.
所以λ的取值范围为(2,+∞).
[探究共研型]
	向量的模		探究1 由向量长度的坐标表示,你能否得出平面内两点间的距离公式?
【提示】 设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),由向量长度的坐标表示可得|AB|=||=.
探究2 向量的模的坐标表达式是什么?
【提示】 向量a=(x1,y1)的模是|a|=.
探究3 求向量的坐标一般采用什么方法?
【提示】 一般采用设坐标、列方程的方法求解.
 设平面向量a=(3,5),b=(-2,1).
(1)求a-2b的坐标和模的大小;
(2)若c=a-(a·b)·b,求|c|.
【精彩点拨】 (1)将已知向量的坐标代入运算即可.(2)利用a·b=x1x2+y1y2求得c的坐标表示,然后求模.
【自主解答】 (1)a=(3,5),b=(-2,1),
所以a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(3+4,5-2)=(7,3),
|a-2b|==.
(2)a·b=x1x2+y1y2=-6+5=-1,
所以c=a+b=(1,6),所以|c|==.

求向量的模的两种基本策略
1.字母表示F的运算
利用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.
2.坐标表示F的运算
若a=(x,y),则a·b=a2=|a|2=x2+y2,
于是有|a|=.

[再练一题]
3.(1)已知a=(1,2),b=(-2,m),若ab,则|2a+3b|=________.
(2)已知|a|=10,b=(1,2),且ab,求a的坐标.
【解析】 (1)因为a=(1,2),b=(-2,m),ab,所以1×m-2×(-2)=0,
所以m=-4,所以2a+3b=2×(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8),
所以|2a+3b|==4.
【答案】 4
(2)设a的坐标为(x,y),由题意得
解得或
所以a=(2,4)或a=(-2,-4).
[构建·体系]

1.若向量a=(1,1),b=(-1,2),则a·b=(  )
A.1     	B.2
C.3 	D.4
【解析】 a·b=(1,1)·(-1,2)=1×(-1)+1×2=1.
【答案】 A
2.已知a=(-,-1),b=(1,),那么a·b的夹角θ=(  ) 

A.120° 	B.30°
C.150° 	D.60°
【解析】 因为a·b=(-,-1)·(1,)=-2,
|a|==2,|b|==2.
所以cos θ===-.
又因为0°≤θ≤180°,所以θ=150°.
【答案】 C
3.已知a=(2,3),b=(-2,4),则(a+b)·(a-b)=________.
【解析】 法一:a+b=(0,7),a-b=(4,-1),
所以(a+b)(a-b)=0×4+7×(-1)=-7.
法二:(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=13-20=-7.
【答案】 -7
4.已知a=(1,x),b=(-3,1),若ab,则x=________.
【解析】 a⊥b,
-3+x=0,
x=3.
【答案】 3
5.已知向量a=(1,2),b=(2,-2).
(1)设c=4a+b,求(b·c)·a;
(2)若a+λb与a垂直,求λ的值;
(3)求向量a在b方向上的射影.
【解】 (1)c=4(1,2)+(2,-2)=(6,6),
b·c=(2,-2)·(6,6)
=2×6-2×6=0,
(b·c)a=0·a=0.
(2)a+λb=(1,2)+λ(2,-2)
=(1+2λ,2-2λ),
(a+λb)a,
(1+2λ)+2(2-2λ)=0,
得λ=.
(3)法一:设a与b的夹角为θ,
则cos θ=
==-.
向量a在b方向上的投影为
|a|cos θ=·=-.
法二:a·b=(1,2)·(2,-2)
=-2,|b|=2.
向量a与b方向上的投影为
|a|cos θ===-.

我还有这些不足:
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案:
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________














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