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【课堂新坐标】2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案:2.5 从力做的功到向量的数量积

资料类别: 数学/学案

所属版本: 北师大版

所属地区: 全国

上传时间:2017/1/13

下载次数:152次

资料类型:

文档大小:361KB

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§5 从力做的功到向量的数量积

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.(重点)
2.体会平面向量的数量积与向量射影的关系.
3.能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题.(难点)


[基础·初探]
教材整理 向量的夹角及数量积
阅读教材P93~P96内容,完成下列问题.
1.向量的夹角
定义	已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则AOB=θ叫作向量a与b的夹角		范围	0°≤θ≤180°		特例	θ=0°	a与b同向			θ=180°	a与b反向			θ=90°	a与b垂直,记作ab,规定0可与任一向量垂直		2.向量的数量积
(1)射影
|b|cos θ叫作向量b在a方向上的投影数量(也叫投影).
(2)数量积
已知两个非零向量a与b,我们把|a||b|cos θ 叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ,其中θ是a与b的夹角.
(3)规定
零向量与任一向量的数量积为0.
(4)几何意义
a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos θ的乘积,或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos θ的乘积.
(5)性质
若e是单位向量,则e·a=a·e=|a|cos θ.
若a⊥b,则a·b=0;反之,若a·b=0,则a⊥b,通常记作a⊥ba·b=0.
|a|==.
④cos θ=(|a||b|≠0).
对任意两个向量a,b,有|a·b|≤|a||b|,当且仅当a∥b时等号成立.
(6)运算律
已知向量a,b,c与实数λ,则:
交换律:a·b=b·a;
结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);
分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两向量的数量积仍是一个向量.(  )
(2)若a·b=0,则a=0或b=0.(  )
(3)设a与b的夹角为θ,则cos θ>0a·b>0.(  )
(4)对于任意向量a,b,总有(a·b)2=a2·b2.(  )
(5)=.(  )
【解析】 (1)×.两向量的数量积是一个数量.
(2)×.a·b=|a||b|cos θ=0,a=0或b=0或cos θ=0.
(3)√.
(4)×.由数量积定义知,错;
(5)×.==.
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问2:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问3:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
[小组合作型]
	求向量的数量积		 已知|a|=4,|b|=5,且a与b的夹角为60°.求:(1)a·b;(2)(a+b)2;(3)(a-b)2;(4)a2-b2.
【精彩点拨】 利用两个向量的数量积公式a·b=|a||b|cos θ,|a|2=a2及运算律计算.
【自主解答】 由题知θ=60°,|a|=4,|b|=5.
(1)a·b=|a||b|cos θ=4×5×cos 60°=10.
(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2=42+2×10+52=61.
(3)(a-b)2=a2-2a·b+b2=42-20+52=21.
(4)a2-b2=|a|2-|b|2=42-52=-9.


1.求平面向量数量积的步骤是:求a与b的夹角θ,θ[0,π];分别求出|a|和|b|;利用数量积的定义:a·b=|a||b|cos θ求解.要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接,而不能用“×”连接,更不能省略不写.
2.若所求形式比较复杂,则应先运用数量积运算律展开、化简,再确定向量的模和夹角,最后根据定义求出数量积.

[再练一题]
1.已知|a|=10,|b|=4,a与b的夹角θ=120°.求:
(1)a·b;
(2)a在b方向上的射影;
(3)(a-2b)·(a+b);
(4)(a-b)2.
【解】 (1)a·b=|a||b|cos 120°=10×4×=-20.
(2)a在b方向上的射影为|a|cos 120°=10×=-5.
(3)(a-2b)·(a+b)=a2+a·b-2a·b-2b2
=a2-a·b-2b2=|a|2-|a||b|cos 120°-2|b|2
=100-10×4×-2×42=88.
(4)(a-b)2=a2-2a·b+b2=|a|2-2|a||b|cos 120°+|b|2
=100-2×10×4×+42
=100+40+16=156.
	与向量的模有关的问题		 已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=4,|b|=2.求:
(1)|a+b|;
(2)|3a-4b|.
【精彩点拨】 利用公式|a|2=a2进行计算.
【自主解答】 a·b=|a||b|cos θ=4×2×cos 120°=-4.
(1)因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2·a·b+|b|2
=42+2×(-4)+22=12,
所以|a+b|=2.
(2)因为|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2
=9×16-24×(-4)+16×4=304,
所以|3a-4b|=4.

1.求模问题一般转化为求模的平方,与向量的数量积联系,并灵活运用a2=|a|2,最后勿忘开方.
2.一些常见等式应熟记:
(a±b)2=a2±2a·b+b2;
(a+b)·(a-b)=a2-b2等.

[再练一题]
2.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61,求|a+b|. 

【解】 因为(2a-3b)·(2a+b)=61,
所以4a2+2a·b-6a·b-3b2=61,
所以4|a|2-4a·b-3|b|2=61.
又因为|a|=4,|b|=3,所以4×42-4a·b-3×32=61,
所以a·b=-6.
|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2
=42+2×(-6)+32=13,
所以|a+b|=.
[探究共研型]
	向量的夹角和垂直问题		探究1 向量的夹角范围是多少?
【提示】 [0,π].
探究2 设a与b都是非零向量,若ab,则a·b等于多少?反之成立吗?
【提示】 a·b=0a⊥b.
探究3 |a·b|与|a|·|b|的大小关系如何?为什么?对于向量a·b,如何求它们的夹角θ?
【提示】 |a·b|≤|a|·|b|,|a·b|=|a|·|b|·|cos θ|.
由|cos θ|≤1,可得|a·b|≤|a|·|b|.
求夹角θ时先求两个向量a,b夹角的余弦值.然后根据向量夹角的取值范围求角.
 已知单位向量e1,e2的夹角为60°,求向量a=2e1+e2与b=2e2-3e1的夹角θ.
【精彩点拨】 先求|a|,|b|及a·b,再由公式cos θ=求解.
【自主解答】 e1·e2=|e1||e2|cos 60°=cos 60°=,
a·b=(2e1+e2)·(2e2-3e1)
=-6e+e1·e2+2e=-.
又a2=(2e1+e2)2=4e+4e1·e2+e=7,
b2=(2e2-3e1)2=4e-12e1·e2+9e=7,
|a|=|b|=,
则cos θ===-.
0≤θ≤π,θ=π.


1.求向量a,b的夹角θ有两步:第一步,利用公式cos θ=求cos θ;第二步,根据θ[0,π]确定θ.而求cos θ有两种情形,一种是求出a·b,|a|,|b|的值;另一种是得到a·b,|a|,|b|之间的关系分别代入公式计算.
2.两向量垂直a·b=0,即把垂直关系转化为数量积的运算问题解决.

[再练一题]
3.已知|a|=1,a·b=,(a-b)(a+b)=.
(1)求a与b的夹角;
(2)求a-b与a+b的夹角的余弦值.
【解】 (1)因为(a-b)·(a+b)=,所以|a|2-|b|2=.又因为|a|=1,所以|b|==,设a与b的夹角为θ,则cos θ===.又因为θ[0,π],所以θ=.
(2)因为(a-b)2=a2-2a·b+b2=1-2×+=,
所以|a-b|=.又因为(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2×+=,所以|a+b|=.
设a+b与a-b的夹角为α,
则cos α===.
[构建·体系]

1.对于向量a,b,c和实数λ,下列命题中正确的是(  )
A.若a·b=0,则a=0或b=0
B.若λa=0,则a=0或λ=0
C.若a2=b2,则a=b或a=-b
D.若a·b=a·c,则b=c
【解析】 由向量数量积的运算性质,知A,C,D错误.
【答案】 B
2.设向量a·b=40,|b|=10,则a在b方向上的射影为(  )
A.4     	B.4
C.4 	D.8+
【解析】 a在b方向上的射影为|a|cos〈a,b〉.由a·b=|a|·|b|cos θ=40且|b|=10,得|a|cos θ=4.
【答案】 A
3.已知|a|=,|b|=2,a·b=-3,则a与b的夹角是________. 

【解析】 设a与b的夹角为θ,cos θ===-.
又因为0°<θ<180°,所以θ=120°.
【答案】 120°
4.单位向量i,j相互垂直,向量a=3i-4j,则|a|=________.
【解析】 因为|a|2=a2=(3i-4j)2=9i2-24i·j+16j2=9+16=25,所以|a|=5.
【答案】 5
5.已知|a|=1,|b|=,设a与b的夹角为θ.
(1)若θ=,求|a-b|;
(2)若a与a+b垂直,求θ.
【解】 (1)|a-b|2=(a-b)2
=a2-2a·b+b2
=|a|2-2|a||b|cos+|b|2
=1-2×+2
=3-,
|a-b|=.
(2)若a与a+b垂直,则a·(a+b)=0,
a2+a·b=0.
a·b=-|a|2=-1.
cos θ===-.
0°≤θ≤180°,θ=135°.

我还有这些不足:
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(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案:
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(2)______________________________________________________________














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