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【课堂新坐标】2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案:2.4 平面向量的坐标

资料类别: 数学/学案

所属版本: 北师大版

所属地区: 全国

上传时间:2017/1/13

下载次数:179次

资料类型:

文档大小:393KB

所属点数: 0

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§4 平面向量的坐标
4.1 平面向量的坐标表示
4.2 平面向量线性运算的坐标表示
4.3 向量平行的坐标表示

1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.(重点)
2.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.(重点)
3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.(重点)


[基础·初探]
教材整理1 平面向量的坐标表示
阅读教材P88~P89“4.2”以上部分,完成下列问题.
如图2-4-1所示,在平面直角坐标系xOy中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面上的向量a,由平面向量基本定理可知有且只有一对有序实数(x,y),使得a=xi+yj.我们把有序实数对(x,y)称为向量a的(直角)坐标,记作a=(x,y).
图2-4-1

判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同.(  )
(2)向量的坐标就是向量终点的坐标.(  )
(3)在平面直角坐标系中,两相等向量的终点坐标一样.(  )
【解析】 (1)错误.无论向量在何位置其坐标不变.
(2)错误.向量的坐标是把向量的起点平移到原点时终点的坐标.
(3)错误.两相等向量的坐标相等,与它们的终点无关.
【答案】 (1)× (2)× (3)×
教材整理2 平面向量的坐标运算及向量平行的坐标表示
阅读教材P89~P91“练习”以上部分,完成下列问题.
1.平面向量的坐标运算
(1)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2)和实数λ,那么:
a+b=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2);
a-b=(x1,y1)-(x2,y2)=(x1-x2,y1-y2);
λa=λ(x1,y1)=(λx1,λy1).
(2)已知A(x1,y1),B(x2,y2),O(0,0),则=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标.
2.向量平行的坐标表示
(1)设a,b是非零向量,且a=(x1,y1),b=(x2,y2),若a∥b,则存在实数λ,使a=λb,用坐标表示为x1y2-x2y1=0.
若y1≠0且y2≠0,则上式可变形为=.
(2)文字语言描述向量平行的坐标表示
定理 若两个向量(与坐标轴不平行)平行,则它们相应的坐标成比例.
定理 若两个向量相对应的坐标成比例,则它们平行.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab⇔x1y2=x2y1.(  )
(2)向量a=(1,2)与b=(-3,-6)共线且同向.(  )
(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),ab,则=.(  )
【解析】 (1)正确.ab,则a=λb可得x1y2=x2y1.
(2)错误.a=-3b,a与b共线且反向.
(3)错误.若y1=0,y2=0时表达式无意义.
【答案】 (1)√ (2)× (3)×
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问2:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问3:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
[小组合作型]
	平面向量的坐标表示		 已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,C在第一象限,D为AC的中点,分别求向量,,,的坐标.
【精彩点拨】 表示出各点的坐标→用终点坐标减去始点坐标→得相应向量的坐标
【自主解答】 如图,正三角形ABC的边长为2,则顶点A(0,0),B(2,0),C(2cos 60°,2sin 60°),
∴C(1,),D,
=(2,0),=(1,),
=(1-2,-0)=(-1,),
==.

1.向量的坐标等于终点的坐标减去始点的相应坐标,只有当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标才等于终点的坐标.
2.求向量的坐标一般转化为求点的坐标,解题时常常结合几何图形,利用三角函数的定义进行计算.

[再练一题]
1.已知点O是ABC内一点,AOB=150°,BOC=90°,设=a,=b,=c,且|a|=2,|b|=1,|c|=3,求向量,.
【解】 如图所示,以点O为原点,所在射线为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系.
∵||=1,AOB=150°,
B(-cos 30°,sin 30°),
即B.
||=3,
C(-3sin 30°,-3cos 30°),
即C.
又A(2,0),
=-(2,0)=,
=-=.
	向量坐标的线性运算		 已知点A(-1,2),B(2,8)及=,=-.求点C,D和的坐标. 
【精彩点拨】 先求出的坐标,然后求,的坐标,最后求出,及的坐标.
【自主解答】 A(-1,2),B(2,8),
=(2,8)-(-1,2)=(3,6),
==(1,2),
=-==(1,2),
则=+=(-1,2)+(1,2)=(0,4),
=+=-=(-1,2)-(1,2)=(-2,0),
C,D的坐标分别为(0,4)和(-2,0).
因此=(-2,-4).

1.向量的坐标形式的线性运算,主要是利用加、减、数乘运算法则进行.
2.若已知线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用.

[再练一题]
2.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b.
(1) 求3a+b-3c的坐标;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;
(3)求M,N的坐标及向量的坐标.
【解】 由已知得a=(5,-5),
b=(-6,-3),c=(1,8).
(1)3a+b-3c
=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)
=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
(2)mb+nc=(-6m+n,-3m+8n)=(5,-5),
解得
(3)设O为坐标原点,
=-=3c,
=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).
M(0,20).
又=-=-2b,
=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),
N(9,2).
=(9,2)-(0,20)=(9,-18).
[探究共研型]
	向量平行的坐标表示		探究1 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),若向量a,b共线(其中b≠0),则这两个向量的坐标满足什么关系?反之成立吗?
【提示】 这两个向量的坐标应满足x1y2-x2y1=0,反之成立.即ab⇔x1y2-x2y1=0.
探究2 如果两个非零向量共线,你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗?
【提示】 当两个向量的对应坐标同号或同为零时,同向.当两个向量的对应坐标异号或同为零时,反向.
 已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?
【精彩点拨】 由a,b的坐标→求ka+b,a-3b坐标→
由向量共线的条件列方程组→求k的值→判断方向
【自主解答】 法一:ka+b=k(1,2)+(-3,2)
=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ,
使ka+b=λ(a-3b).
由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),
得解得k=λ=-.
即当k=-时,ka+b与a-3b平行,
这时ka+b=-a+b=-(a-3b),
λ=-<0,ka+b与a-3b反向.
法二:由法一知ka+b=(k-3,2k+2),
a-3b=(10,-4).
ka+b与a-3b平行,
(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得k=-.
此时ka+b=-a+b=-(a-3b).
当k=-时,ka+b与a-3b平行,并且反向.

解决向量共线问题时,常常根据向量平行的坐标表示,将向量间的平行关系转化为坐标间的数量关系来求解.

[再练一题]
3.已知a=(1,0),b=(2,1).
(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线?
(2)若=2a+3b,=a+mb且A,B,C三点共线,求m的值.
【解】 (1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).
ka-b与a+2b共线,
2(k-2)-(-1)×5=0,
即2k-4+5=0,得k=-.
(2)A,B,C三点共线,=λ,λR,即2a+3b=λ(a+mb),
解得m=.
[构建·体系]

1.下列各组向量共线的是(  )
A.a1=(-2,3),b1=(4,6)
B.a2=(2,3),b2=(3,2)
C.a3=(1,2),b3=(7,14)
D.a4=(-3,2),b4=(6,4)
【解析】 因为b3=(7,14)=7(1,2)=7a3,所以a3与b3共线.
【答案】 C
2.已知a=(3,5),b=(-3,2),则a+b=(  )
A.(8,-1)      	B.(0,7)
C.(7,0) 	D.(-1,8)
【解析】 a+b=(3,5)+(-3,2)=(3-3,5+2)
=(0,7).
【答案】 B
3.已知A(4,1),B,C,若A,B,C共线,则x=________. 

【解析】 因为=,=,所以(x-4)=,解得x=-1.
【答案】 -1
4.已知点A(2,3),B(-1,5),且=,则点C的坐标为________.
【解析】 ==,=+=,即C.
【答案】 
5.已知A(1,2),B(3,-6),向量a=(x+3,y-4).若a=2,求x,y的值.
【解】 由题意得=(3,-6)-(1,2)=(2,-8),所以2=2(2,-8)=(4,-16).
又因为a=(x+3,y-4),a=2.
所以解得

我还有这些不足:
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案:
(1)______________________________________________________________
(2)____________________________________














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