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【课堂新坐标】2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案:2.3.2 平面向量基本定理

资料类别: 数学/学案

所属版本: 北师大版

所属地区: 全国

上传时间:2017/1/13

下载次数:173次

资料类型:

文档大小:450KB

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3.2 平面向量基本定理

1.了解平面向量基本定理及其意义.(重点)
2.能应用平面向量基本定理解决一些实际问题.(难点)


[基础·初探]
教材整理 平面向量基本定理
阅读教材P85~P86“例4”以上部分,完成下列问题.
如果e1,e2(如图2-3-7)是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,存在唯一一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2(如图2-3-7),其中不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.

图2-3-7

判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面向量的一组基底e1,e2中可以有一个向量为零向量.(  )
(2)任意两个向量都可以作为基底.(  )
(3)平面向量的基底不是唯一的.(  )
(4)零向量不可作为基底中的向量.(  )
【解析】 (1)×,因为零向量与任何向量均共线.
(2)×,两不共线的向量才可作为平面的一组基底.
(3)(4)均正确.
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问2:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问3:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
[小组合作型]
	平面向量基本定理的理解		 如果e1,e2是平面α内所有向量的一组基底,λ,μ是实数,判断下列说法是否正确,并说明理由.
(1)若λ,μ满足λe1+μe2=0,则λ=μ=0;
(2)对于平面α内任意一个向量a,使得a=λe1+μe2成立的实数λ,μ有无数对;
(3)线性组合λe1+μe2可以表示平面α内的所有向量;
(4)当λ,μ取不同的值时,向量λe1+μe2可能表示同一向量.
【精彩点拨】 根据平面向量基本定理的内容来判断.
【自主解答】 (1)正确.若λ≠0,则e1=-e2,从而向量e1,e2共线,这与e1,e2不共线相矛盾,同理可说明μ=0.
(2)不正确.由平面向量基本定理可知λ,μ唯一确定.
(3)正确.平面α内的任一向量a可表示成λe1+μe2的形式,反之也成立.
(4)不正确.结合向量加法的平行四边形法则易知,当λe1和μe2确定后,其和向量λe1+μe2便唯一确定.

1.对于平面内任何向量都可以用两个不共线的向量来表示;反之,平面内的任一向量也可以分解为两个不共线的向量的和的形式.
2.向量的基底是指平面内不共线的向量,事实上,若e1,e2是基底,则必有e1≠0,e2≠0,且e1与e2不共线,如0与e1,e1与2e1,e1+e2与2(e1+e2)等均不能构成基底.

[再练一题]
1.设e1,e2是不共线的两个向量,给出下列四组向量:
e1与e1+e2;e1-2e2与e2-2e1;e1-2e2与4e2-2e1;e1+e2与e1-e2.其中,不能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________.(写出所有满足条件的序号)
【解析】 中,设e1+e2=λe1,则无解,
e1+e2与e1不共线,即e1与e1+e2可作为一组基底;
中,设e1-2e2=λ(e2-2e1),
则(1+2λ)e1-(2+λ)e2=0,则无解,
e1-2e2与e2-2e1不共线,即e1-2e2与e2-2e1可作为一组基底;
中,e1-2e2=-(4e2-2e1),
e1-2e2与4e2-2e1共线,即e1-2e2与4e2-2e1不可作为一组基底;
设e1+e2=λ(e1-e2),则(1-λ)e1+(1+λ)e2=0,
无解.
e1+e2与e1-e2不共线,即e1+e2与e1-e2可作为一组基底.
【答案】 
	运用基底表示向量		 如图2-3-8,梯形ABCD中,ABCD,且AB=2CD,M,N分别是DC和AB的中点,若=a,=b,试用a,b表示,,.

图2-3-8
【精彩点拨】 利用三角形法则或平行四边形法则,寻找所求向量与a,b的关系.
【自主解答】 如图所示,连接CN,则四边形ANCD是平行四边形.

则===a;
=-=-=b-a;
=-=--
=--=a-b.

利用基底表示未知向量,实质就是利用向量的加法、减法以及数乘向量进行线性运算,解决此类问题时,要仔细分析所给图形,借助于平面几何知识的向量共线定理及平面向量基本定理解决.

[再练一题]
2.如图2-3-9,在ABCD中,M,N分别为DC,BC的中点,已知=c,=d,试用c,d表示和.
图2-3-9
【解】 设=a,=b,则由M,N分别为DC,BC的中点可得:=b,=a,+=,即b+a=c.
+=,即a+b=d.
由可得a=(2d-c),b=(2c-d),
即=(2d-c),=(2c-d).
[探究共研型]
	平面向量基本定理应用		探究1 如果e1,e2是两个不共线的确定向量,则与e1,e2在同一平面内的任一向量a,能否用e1,e2表示?依据是什么?
【提示】 能.依据是数乘向量和平行四边形法则.
探究2 如果e1,e2是共线向量,那么向量a能否用e1,e2表示?为什么?
【提示】 不一定.当a与e1共线时可以表示,否则不能表示.
探究3 基底给定时,向量分解形式唯一吗?
【提示】 向量分解形式唯一.
 如图2-3-10,在平行四边形ABCD中,F是CD的中点,AF与BD交于E,求证:E为线段BD的三等分点.

图2-3-10
【精彩点拨】 要证E为线段BD的三等分点,只需证B=B,可设B=μB.选取,A作为基底,通过A+B=A,建立相应的方程组,并进行运算,求出μ=即可.
【自主解答】 设A=a,A=b,则
B=A-A=b-a,
A=A+D=A+A=b+a.
因为A,E,F与B,D,E分别共线,所以存在实数λ,μR,使A=λA,B=μB.
于是A=a+λb,B=μb-μa.
由A+B=A,得(1-μ)a+μb=a+λb.
因为a,b不共线,由平面向量基本定理,
得1-μ=,且μ=λ.
解得λ=μ=,B=B,
即E为线段BD(靠近D)的一个三等分点.

1.利用向量证明几何问题是其工具性的体现.操作时,为明确方向,常常选取问题中不共线的线段对应的向量作为基底.
2.平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1,e2的线性组合λ1e1+λ2e2.在具体求λ1,λ2时有两种方法:一是直接利用三角形法则、平行四边形法则及平面向量基本定理;二是利用待定系数法,即利用定理中λ1,λ2的唯一性列方程组求解.

[再练一题]
3.已知D,E,F分别是ABC的BC,CA,AB边上的中点.试用向量法证明:AD,BE,CF交于一点.
【证明】 如图,令=a,=b为基底,
则=a-b,=a-b,=-a+b,
设AD与BE交于点G,且=λ,=μ,
则有=λa-b,=-a+μb.
又有=+
=a+(μ-1)b,

解得λ=μ=.
=a-b,
=+
=-a+a-b=-a-b
=×(-a-b).
而=(-a-b),
=,
点GCF,AD,BE,CF交于一点.
[构建·体系]

1.设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,下列向量组:与;与;与;与.其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基底的是(  )
A. 	B. 
C. 	D.
【解析】 根据基底的概念知两个向量必须不共线,结合图形知正确.
【答案】 B
2.已知向量e1与e2不共线,实数x,y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y等于(  )
A.3 	B.-3 
C.0 	D.2
【解析】 因为(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,
所以(3x-4y-6)e1+(2x-3y-3)e2=0,
所以由-得x-y-3=0,
即x-y=3.
【答案】 A
3.在ABC中,若D,E,F依次是的四等分点,则以=e1,=e2为基底时,=________. 


图2-3-11
【解析】 =-=e1-e2,
因为D,E,F依次是的四等分点,
所以==(e1-e2),
所以=+=e2+(e1-e2)=e1+e2.
【答案】 e1+e2
4.已知向量i,j不共线,实数λ,μ满足等式3λi+(10-μ)j=2λi+(4μ+7)j,则λ的值为________,μ的值为________.
【解析】 由3λi+(10-μ)j=2λi+(4μ+7)j得
λi+(3-5μ)j=0,因为i,j不共线.
所以λ=0,3-5μ=0,即μ=.
【答案】 0 
5.设M,N,P是ABC三边上的点,且=,=,=,若=a,=b,试用a,b将,,表示出来.
【解】 如图,=-
=--
=--(-)
=-=b-a.
=-
=-=a-b.
=-=-(+)=a+b.

我还有这些不足:
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案:
(1)______________________________________________________________
(2)____________________________________














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