欢迎来到高考学习网,

[登录][注册]

免费咨询热线:010-57799777

高考学习网
今日:1530总数:5885151专访:3372会员:401265
当前位置: 高考学习网 > 【课堂新坐标】2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案:2.3.1 数乘向量

【课堂新坐标】2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案:2.3.1 数乘向量

资料类别: 数学/学案

所属版本: 北师大版

所属地区: 全国

上传时间:2017/1/13

下载次数:151次

资料类型:

文档大小:388KB

所属点数: 0

普通下载 VIP下载 【下载此资源需要登录并付出 0 点,如何获得点?
§3 从速度的倍数到数乘向量
31 数乘向量

1.理解向量的数乘运算及其几何意义.(重点)
2.理解向量共线定理,并应用其解决相关问题.(难点)
3.会利用向量共线定理判断三点共线及线线平行.(易混点)


[基础·初探]
教材整理 数乘向量
阅读教材P82~P84“例3”以上部分,完成下列问题.
1.数乘向量及运算律
(1)向量数乘的定义
一般地,实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa.它的长度和方向规定如下:
|λa|=|λ||a|;
当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=0.
(2)向量数乘的运算律
设a,b为向量,λ,μ为实数,则向量数乘满足:
结合律:λ(μa)=(λμ)a;
分配律:(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb.
2.共线向量定理
(1)判定定理
a是一个非零向量,若存在一个实数λ,使得b=λa,则向量b与非零向量a共线.
(2)性质定理
若向量b与非零向量a共线,则存在一个实数λ,使得b=λa.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)实数λ与向量a的积还是向量.(  )
(2)实数λ与向量a的和λ+a与差λ-a都是向量.(  )
(3)对于非零向量a,向量-6a与向量2a方向相反.(  )
(4)向量-8a的模是向量4a的模的2倍.(  )
(5)若b=λa(a≠0),则a与b方向相同或相反.(  )
(6)若ab,则存在λR,使得b=λa.(  )
【解析】 由数乘向量的意义知,(1)正确,(2)错误,(3)正确,(4)正确;(5)当b=0时,不能判断方向相同或相反,因而(5)错误;(6)当a=0,b≠0时,就不存在实数λ,使b=λa,故(6)错误.
【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)×
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问2:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问3:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________

[小组合作型]
	向量的线性运算		 计算:
(1)3(6a+b)-9;
(2)-2;
(3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.
【精彩点拨】 根据向量加法、减法、数乘的运算法则进行运算.
【自主解答】 (1)原式=18a+3b-9a-3b=9a.
(2)原式=-a-b
=a+b-a-b=0.
(3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a
=b-c.


1.向量数乘的运算类似于代数多项式的运算,主要是“合并同类项”“提取公因式”,这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看成向量的系数.
2.向量也可以通过列方程来解,把所求向量当做未知量,利用解代数方程的方法求解.

[再练一题]
1.化简:
(1)5(3a-2b)+4(2b-3a);
(2)(a+2b)+(3a-2b)-(a-b).
【解】 (1)5(3a-2b)+4(2b-3a)=15a-10b+8b-12a=3a-2b.
(2)(a+2b)+(3a-2b)-(a-b)=a+b=a+b.
	向量共线定理及应用		 已知e1,e2是不共线的向量,a=3e1+4e2,b=6e1-8e0,判断a与b是否共线?
【精彩点拨】 利用向量共线定理进行判断.
【自主解答】 若a与b共线,则存在λR.使a=λb,即3e1+4e2=λ(6e1-8e2),
所以(3-6λ)e1+(4+8λ)e2=0.
因为e1与e2不共线,所以所以λ不存在.
所以a与b不共线.

1.本题充分利用了向量共线定理,即b与a(a≠0)共线b=λa,因此用它既可以证明点共线或线共线问题,也可以根据共线求参数的值.
2.向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示,从而判断共线.

[再练一题]
2.设e1,e2是两个不共线向量,已知=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2.
(1)求证:A,B,D三点共线.
(2)若=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.
【解】 (1)证明:由已知得
=-
=(2e1-e2)-(e1+3e2)
=e1-4e2.
=2e1-8e2,
=2,又与有公共点B.
A,B,D三点共线.
(2)由(1)可知=e1-4e2,由=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,
得=λ,即3e1-ke2=λe1-4λe2,
得解得k=12.
[探究共研型]
	向量线性运算的综合应用		探究1 若存在实数λ,使=λ,则A,B,C三点的位置关系如何?
【提示】 A,B,C三点共线.
探究2 根据数乘向量的几何意义由+=λ(+)可以得到什么结论?
【提示】 +与+共线.
探究3 向量共线定理有哪两个方面的应用?
【提示】 (1)判断两个向量共线,若存在一个实数λ,使b=λa(a≠0),则a与b共线.(2)表示两个共线向量之间的关系.若a与b共线(a≠0)则必存在一个实数λ.使b=λa.
 已知O是坐标原点,过OAB的重心的直线交OA于点P,交OB于点Q,=a,=b,=m a,=n b,求证:+=3.
【精彩点拨】 解答本题可先利用三角形重心性质,共线向量基本定理把用表示出来,再用向量求和法则,将其用a,b表示出来,然后表示出,,最后利用Q,G,P三点共线,即可得证.
【自主解答】 如图,设G是ABC的重心,连接OG并延长,交AB于点F,则

==×(a+b)=(a+b),
=-=(a+b)-n b=a+b,
=-=m a-(a+b)=a-b.
Q,G,P三点共线,
则存在实数k使=k,
a+b=ka-kb,

化简得m+n=3mn,
+=3.

1.由已知向量表示未知向量时,要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律,还应重视平面几何定理的应用.
2.当用已知向量表示未知向量比较困难时,应考虑方程思想,利用方程的观点进行求解.

[再练一题]
3.已知ABC中,AB=5,AC=5,BC=6,内角平分线的交点为O,若=λ+μ,求实数λ与μ的和.
【解】 如图,AB=AC=5,由已知可得,D为BC的中点,由角的平分线性质定理知,==,

即=.
于是,==(+)
==+,
即λ=,μ=.
故λ+μ=+=.
[构建·体系]

1.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论正确的是(  )
A.a与-λa的方向相反 	B.|-λa|≥|a|
C.a与λ2a的方向相同 	D.|-λa|=|λ|a
【解析】 a与λ2a的方向相同.
【答案】 C
2.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是(  ) 

A.A,B,D 	B.A,B,C
C.B,C,D 	D.A,C,D
【解析】 ++=a+2b+(-5a+6b)+(7a-2b)=3a+6b=3(a+2b)==3.
所以A,B,D三点共线.
【答案】 A
3.若|a|=5,b与a的方向相反,且|b|=7,则a=________b.
【解析】 因为|a|=5,|b|=7,所以=.
又因为b与a的方向相反,所以a=-b.
【答案】 -
4.在四边形ABCD中,=2,则四边形ABCD为________(填“梯形、矩形、菱形、平行四边形”之一).
【解析】 因为=2,所以四边形ABCD中有ABDC,AB=2CD,所以四边形ABCD是梯形.
【答案】 梯形
5.如图2-3-1所示,已知在梯形ABCD中,ABCD且AB=3CD.若=a,=b,试用a,b表示向量.
图2-3-1
【解】 因为ABCD,且AB=3CD,
所以=3,==a,
所以=+=b+a.

我还有这些不足:
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案:
(1)______________________________________________________________
(2)____________________________________














高考学习网-中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识!


































本网部分资源来源于会员上传,除本网组织的资源外,版权归原作者所有,如有侵犯版权,请联系并提供证据(kefu@gkxx.com),三个工作日内删除。

精品专题more

友情链接:初中学习网人民网高考网易高考高中作文网新东方冬令营