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【课堂新坐标】2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案:2.2 从位移的合成到向量的加法

资料类别: 数学/学案

所属版本: 北师大版

所属地区: 全国

上传时间:2017/1/13

下载次数:156次

资料类型:

文档大小:485KB

所属点数: 0

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§2 从位移的合成到向量的加法
2.1 向量的加法
2.2 向量的减法

1.掌握向量的加法、减法运算.(重点)
2.理解向量加法与减法的几何意义及加法、减法的关系.(难点)


[基础·初探]
教材整理1 向量加法
阅读教材P76-P77“例2”以上部分,完成下列问题.
向量求和法则及运算律
类别	图示	几何意义		向量求和的法则	三角形法则		已知向量a,b,在平面内任取一点A,作=a,=b,再作向量,则向量叫作a与b的和,记作a+b,即a+b=+=		向量求和的法则	平行四边形法则		已知向量a,b,作=a,=b,再作平行的=b,连接DC,则四边形ABCD为平行四边形,向量叫作向量a与b的和,表示为=a+b		向量加法的运算律	交换律	a+b=b+a			结合律	(a+b)+c=a+(b+c)		
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两向量的和,可能是一个数量.(  )
(2)两向量相加,就是两向量的模相加.(  )
(3)+=.(  )
(4)矩形ABCD中,+=.(  )
【解析】 (1)两向量之和,仍是向量,(1)错;(2)不共线两向量相加,遵循平行四边形法则;由向量加法的三角形法则可知(3)正确;由向量的平行四边形法则可知(4)正确.
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√
教材整理2 向量减法
阅读教材P79~P80“练习”以上部分,完成下列问题.
1.相反向量
定义	把与a长度相等、方向相反的向量,叫作a的相反向量,记作-a		性质	(1)零向量的相反向量仍是零向量,于是-(-0)=0;
(2)互为相反向量的两个向量的和为0,即a+(-a)=(-a)+a=0;
(3)若a+b=0,则a=-b,b=-a		2.向量减法
定义	向量a加上b的相反向量,叫作a与b的差,即a-b=a+(-b),求两个向量差的运算,叫作向量的减法		几何意义	
如图,设=a,=b,则=a-b,即a-b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量		

判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个向量的差仍是一个向量.(  )
(2)=-.(  )
(3)a-b的相反向量是b-a.(  )
(4)|a-b|<|b+a|.(  )
【解析】 (1)正确.两个向量的差仍然是一个既有大小又有方向的量,是向量.
(2)正确.根据向量减法的几何意义可知=-.
(3)正确.(a-b)+(b-a)=0.
(4)错误.|a+b|与|a-b|的大小关系不确定.
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问2:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问3:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
[小组合作型]
	向量的加法、减法运算		 (1)在平行四边形ABCD中,+-等于(  )
A.       	B.
C. 	D.
(2)化简:++--=________.
(3)如图2-2-1,已知向量a,b,c,求作向量a+b-c.
图2-2-1
【精彩点拨】 利用向量的三角形法则或平行四边形法则求解.
【自主解答】 (1)在ABCD中,=,=,
+-=(-)+=.
(2)法一:原式=++-(+)
=0-=.
法二:在平面内任取一点O,连接OA,OB,OC,OD,则
原式=(-)+(-)+(-)-(-)-(-)
=-+-+--+-+=-=.
【答案】 (1)C (2)
(3)作法:
作=a,=b;

作=c;
连接CB,
则=a+b-c.

1.求解这类问题,要灵活应用向量加法、减法的三角形法则与平行四边形法则,并注意向量的起点和终点,当向量首尾相连且为和时,用加法;运用向量减法的三角形法则时,两向量起点一定相同.
2.运用向量减法法则时,常考虑方法:(1)通过相反向量,把向量减法转化为加法;(2)引入点O,将向量起点统一.
3.运用向量加法、减法运算法则作图时,应注意是“首尾相连”还是“首首相连”等.

[再练一题]
1.(1)如图2-2-2,已知ABCD,O是两条对角线的交点,E是CD的一个三等分点,求作:
图2-2-2
+;
+.
(2)如图2-2-3,已知向量a,b,c,求作a+b+c.
图2-2-3
【解】 (1)延长AC,在延长线上截取CF=AO,则向量即为所求.
在AB上取点G,使AG=AB,则向量即为所求.

(2)在平面内任取一点O,作向量=a,再作=c,则=a+c,然后再作=b,连接OC,于是向量=a+b+c即为所求(如图所示).

	利用已知向量表示其它向量		 在五边形ABCDE中,设=a,=b,=c,=d,用a,b,c,d表示.
【精彩点拨】 先表示出向量,然后用向量加法表示出.
【自主解答】 因为=+,=++,
所以+=++,
即b+d=a+c+,
所以=b+d-a-c.

1.用已知向量表示其他向量时,关键是利用向量加法的三角形法则及向量减法的几何意义.
2.用几个基本向量表示其他向量的一般步骤为:
观察待表示的向量位置;寻找相应的平行四边形或三角形;运用法则找关系,化简得结果.

[再练一题]
2.如图2-2-4所示,已知O为平行四边形ABCD内的一点,=a,=b,=c,则可以用a,b,c表示为________.

图2-2-4
【解析】 因为四边形ABCD是平行四边形,所以=,所以-=-,所以=-+=a-b+c.
【答案】 a-b+c
[探究共研型]
	向量加法、减法的综合应用		探究1 向量减法的实质是什么?
【提示】 加法的逆运算.
探究2 |a-b|与|a|,|b|之间的大小关系如何?
【提示】 当a与b不共线时,有<|a-b|<|a+b|;当a与b同向且|a|≥|b|时,有|a-b|=|a|-|b|;当a与b同向且|a|≤|b|时,有|a-b|=|b|-|a|.
 已知ABCD中,ABC=60°,设=a,=b,若|a|=|a+b|=2,求|a-b|的值.
【精彩点拨】 根据题设条件结合向量的加法、减法运算求解.
【自主解答】 依题意,||=|a+b|=2,如图所示.

而||=|a|=2.
因为ABC=60°,
所以ABC是等边三角形,
所以BC=AB.
所以ABCD为菱形,ACBD,
所以|a|2=2+2,
即4=1+,
所以|a-b|=2.

本题的解答是利用了向量加法与减法的几何意义,一般地,若a,b是两个不共线的向量,在平面内任取一点A作=a,=b,以AB,AD为邻边作ABCD,那么=a+b,=a-b.恰当地构造平行四边形,寻找|a|,|b|,|a±b|的关系,灵活运用平面图形的性质是解答本题的关键.

[再练一题]
3.已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4,求|a+b|的值. 

【解】 如图,设=a,=b,

则||=|a-b|.
以OA与OB为邻边作平行四边形OACB,
则||=|a+b|.
由于(+1)2+(-1)2=42,
即||2+||2=||2,
所以OAB是以AOB为直角的直角三角形,
从而OAOB,
所以OACB是矩形.
根据矩形的对角线相等有||=||=4,
即|a+b|=4.
[构建·体系]

1.若O,E,F是不共线的任意三点,则以下各式成立的是(  )
A.=+     	B.=+
C.=+ 	D.=+
【解析】 由向量三角形法则知=+.
【答案】 B
2.正方形ABCD的边长为1,则|+|为(  )
A.1 	B.
C.3 	D.2
【解析】 +=,|+|=||=,故选B.
【答案】 B
3.设a表示向东走4 km,b表示向南走3 km,则|a+b|=________km. 

【解析】 |a+b|==5.
【答案】 5
4.化简:
(1)+-=________;
(2)---=________.
【解析】 (1)+-=+(-)=+=0.
(2)---=(-)-(+)
=-0=.
【答案】 0 
5.如图2-2-5,D,E,F分别为ABC三边的中点,试画出+,+,+.
【解】 如图,+=+=,
+=,
+=+=.


我还有这些不足:
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案:
(1)______________________________________________________________
(2)____________________________________














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