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【课堂新坐标】2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案:2.1 从位移、速度、力到向量

资料类别: 数学/学案

所属版本: 北师大版

所属地区: 全国

上传时间:2017/1/13

下载次数:195次

资料类型:

文档大小:733KB

所属点数: 0

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§1 从位移、速度、力到向量
1.1 位移、速度和力
1.2 向量的概念

1.理解向量的有关概念及向量的几何表示.(重点)
2.掌握共线向量、相等向量的概念.(难点)
3.正确区分向量平行与直线平行.(易混点)


[基础·初探]
教材整理 向量的概念
阅读教材P73~P75“练习”以上部分,完成下列问题.
1.向量的有关概念
名称	定义	表示方法		零向量	长度为零的向量	0		单位向量	长度为单位1的向量叫作单位向量			相等向量	长度相等且方向相同的向量	若a等于b,记作a=b		向量平行或共线	表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合	a与b平行或共线,记作ab或a=λb,λZ		2.向量及其表示
(1)定义
既有大小,又有方向的量叫作向量.
(2)有向线段
具有方向和长度的线段叫作有向线段.其方向是由起点指向终点,以A为起点、B为终点的有向线段记作,线段AB的长度也叫作有向线段的长度,记作||.
(3)向量的长度
||(或|a|)表示向量(或a)的大小,即长度(也称模).
(4)向量的表示法
向量可以用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.
向量也可以用黑体小写斜体字母如a,b,c,…来表示,书写用 , , …来表示.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)数量同向量一样可以比较大小.(  )
(2)向量与向量是相等向量.(  )
(3)两个向量平行时,表示向量的有向线段所在的直线一定平行.(  )
(4)向量就是有向线段.(  )
【解析】 (1)错误.向量不能比较大小.
(2)错误.与方向相反不是相等向量.
(3)错误.两条直线平行或重合.
(4)错误.向量不能等同于有向线段,有向线段只是向量的一种直观表示.
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×
 [质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问2:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问3:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
[小组合作型]
	向量的有关概念		 给出下列几种说法:温度、速度、位移这些物理量都是向量;
若|a|=|b|,则a=b或a=-b;
向量的模一定是正数;
起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量.
其中说法正确的是________.(填序号)
【精彩点拨】 解答时可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手,逐一判断对错.
【自主解答】 错误,只有速度、位移是向量.
错误.|a|=|b|仅说明a与b模相等,但不能说明它们方向的关系.
错误.0的模|0|=0.
正确.对于一个向量仅由大小和方向确定,与起点的位置无关.
【答案】 

1.零向量是用向量的长度来定义的,共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行或重合来定义的.相等向量是用向量的长度和方向共同定义的,要弄清这些概念的联系和区别.
2.理解向量的有关概念时,注意区分向量与有向线段:只有起点、大小和方向均相同,才是相同的有向线段.对于向量,只要大小和方向相同,就是相等向量,而与起点无关.

[再练一题]
1.判断下列说法是否正确,并说明理由.
(1)若向量与是共线向量,则A,B,C,D必在同一直线上;
(2)若向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反;
(3)向量的长度与向量的长度相等;
(4)单位向量都相等.
【解】 对于(1),考查的是有向线段共线与向量共线的区别.事实上,有向线段共线要求线段必须在同一条直线上.而向量共线时,表示向量的有向线段可以是平行的,不一定在同一条直线上,所以(1)错;
对于(2),由于零向量与任一向量平行,因此若a,b中有一个为零向量时,其方向是不确定的,所以(2)错;
对于(3),向量与方向相反,但长度相等.所以(3)对;
对于(4),需要强调的是:单位向量不仅仅指的是长度,还有方向,而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同,所以(4)错.
	向量表示		 (1)已知B,C是线段AD的两个三等分点,分别以图中各点为起点和终点最多可以写出________个互不相等的非零向量.
(2)一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后又改变方向向北偏西40°走了200 km到达C点,最后改变方向,向东行驶了100 km到达D点.
作出向量,,;
求||.
【精彩点拨】 (1)根据向量的表示方法求解.
(2)先作出表示东南西北的方位图及100 km长度的线段,然后解答问题.
【自主解答】 (1)设线段AD的长度是3,则长度为1的向量有==,==,共2个互不相等的非零向量;长度为2的向量有=,=共有2个互不相等的非零向量,长度为3的向量有,,共2个互不相等的非零向量,综上知共6个互不相等的非零向量.
【答案】 6
(2)向量,,如图所示.

由题意,易知与方向相反,故与共线,
又||=||,
在四边形ABCD中,AB綊CD,
四边形ABCD为平行四边形,
=,||=||=200(km).

1.准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.用有向线段来表示向量是向量的几何表示,必须确定起点、长度和终点,三者缺一不可.
2.起点相同,长度也相同的向量的终点组成以该起点为圆心,向量长度为半径的圆.

[再练一题]
2.小李离家从A点出发向东走2 km到达B点,然后从B点沿南偏西60°走4 km,到达C点,又改变方向向西走2 km到达D点.
(1)作出,,;
(2)求小李到达D点时与A点的距离.
【解】 作,,,如图所示:

(2)依题意,四边形ABCD为平行四边形,
||=||=4,
即小李到达D点时离A点4 km.
[探究共研型]
	相等向量与共线向量		探究1 如果两个非零向量所在的直线互相平行,那么这两个向量的方向有什么关系?
【提示】 方向相同或相反.
探究2 相等向量和共线向量有怎样的关系?两个向量能比较大小吗?
【提示】 相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等向量,两个向量不能比较大小.
探究3 平行四边形的对边有哪些性质?表示共线向量的有向线段所在的直线有什么位置关系?
【提示】 平行四边形的对边平行且相等,表示共线向量的有向线段所在直线平行或重合.
探究4 如果非零向量与是共线向量,那么点A,B,C,D是否一定共线?
【提示】 不一定共线.
 如图2-1-1所示,O是正六边形ABCDEF的中心,且=a,=b,=c.
图2-1-1
(1)与a的模相等的向量有多少个?
(2)与a的长度相等,方向相反的向量有哪些?
(3)与a共线的向量有哪些?
(4)请分别一一列出与a,b,c相等的向量.
【精彩点拨】 由题目可获得以下主要信息:
六边形ABCDEF是正六边形;
=a,=b,=c;
求各相应向量.
解答本题要充分借助几何图形的性质及向量相关概念进行判断,从而解决相应问题.
【自主解答】 (1)与a的模相等的向量有23个.
(2)与a的长度相等且方向相反的向量有,,,.
(3)与a共线的向量有,,,,,,,,.
(4)与a相等的向量有,,;
与b相等的向量有,,;
与c相等的向量有,,.

1.向量的模是用向量的长度来定义的,共线向量是用向量的方向来定义的,而相等向量是用向量的方向和长度共同定义的,要弄清这三个概念的联系与区别.
2.共线向量有四种情况
方向相同且模相等;方向相同但模不等;方向相反但模相等;方向相反且模不等.这样,也就找到了共线向量与相等向量的关系,即共线向量不一定是相等向量,而相等向量一定是共线向量.
3.向量的平行与直线平行的关系
两条直线平行时,直线上的有向线段平行,两向量平行时,表示向量的有向线段所在直线不一定平行,也可能重合.若直线m,n,l,mn,nl,则ml;若向量a,b,c,ab,bc,而a,c不一定平行.
4.向量的相关概念性质与几何知识交汇,要注意联系几何图形的相关性质,使向量与几何图形有机地结合起来.

[再练一题]
3.如图2-1-2所示,O为正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形.在图中所示的向量中:

图2-1-2
(1)分别写出与,相等的向量;
(2)写出与共线的向量.
【解】 (1)||=||=||,且,与的方向相同,与相等的向量是,.同理,与相等的向量是.
(2)AO∥DE∥BF,A,O,C三点共线,
与共线的向量是,,,.
[构建·体系]

1.下列物理量:质量;速度;力;加速度;路程;密度;功.其中不是向量的有(  )
A.1个     	B.2个
C.3个 	D.4个
【解析】 根据向量的概念知速度、力、加速度为向量.
【答案】 D
2.下列说法中正确的是(  )
A.零向量没有方向
B.零向量的模等于零
C.单位向量的模等于1厘米
D.单位向量的方向都相同
【解析】 零向量也有方向,其方向是任意的,因此A错误;单位向量的模等于1个单位长度,而不是具体的1厘米,因此C错误;单位向量的方向要因具体情况而定,因此D错误.所以只有B是正确的.
【答案】 B
3.给出下列命题:
若|a|>|b|,则a>b;若a=b,则ab;若|a|=0,则a=0;0=0;向量大于向量;方向不同的两个向量一定不平行.
其中,正确命题的序号是________.(把你认为正确的命题序号都填上) 

【解析】 不正确.向量不能比较大小;正确.共线向量是指方向相同或相反的向量,相等向量一定共线;正确;不正确.0是一个向量,而0是一个数量,应|0|=0;不正确.因为向量不能比较大小,这是向量与数量的显著区别,向量的模可以比较大小;不正确.因为平行向量包括方向相同和方向相反两种情况.
【答案】 
4.设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K,L,M,N分别是AB,BC,CD,DA的中点,在以已知各点为起点和终点的向量中,与向量相等的向量是________.
【解析】 因为K,L分别是AB,BC的中点,所以KLAC,KL=AC,同理MN綊AC,所以KLMN.KL=MN,所以=.
【答案】 
5.如图2-1-3所示,四边形ABCD与ABEC都是平行四边形.
图2-1-3
(1)用有向线段表示与向量相等的向量;
(2)用有向线段表示与向量共线的向量.
【解】 (1)与向量相等的向量是向量,.
(2)与共线的向量为,,,,,,.

我还有这些不足:
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案:
(1)______________________________________________________________
(2)____________________________________














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