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【课堂新坐标】2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案:1.9 三角函数的简单应用

资料类别: 数学/学案

所属版本: 北师大版

所属地区: 全国

上传时间:2017/1/13

下载次数:210次

资料类型:

文档大小:413KB

所属点数: 0

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§9 三角函数的简单应用

1.能用三角函数研究简单的实际问题,尤其是周期性问题.(重点)
2.将实际问题抽象为三角函数模型.(难点)


[基础·初探]
教材整理 三角函数模型的应用
阅读教材P58~P59练习以上部分,完成下列问题.
1.三角函数模型的应用
(1)根据实际问题的图像求出函数解析式.
(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
(3)利用收集的数据,进行函数拟合,从而得到函数模型.
2.解答三角函数应用题的一般步骤


判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=sin x在第一象限内是增函数.(  )
(2)函数y=3sin x-1的最大值为3.(  )
(3)直线x=π是函数y=sin x的一条对称轴.(  )
(4)函数y=sin(πx-4)的周期为2.(  )
【解析】 (1)由正弦函数图像知,正确;(2)最大值应该是3-1=2;(3)x=+kπ(kZ)是y=sin x的对称轴;(4)T==2.
【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问2:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问3:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
[小组合作型]
	三角函数在物理学中的应用		 交流电的电压E(单位:V)与时间t(单位:s)的关系可用E=220sin来表示,求:
(1)开始时电压;
(2)电压值重复出现一次的时间间隔;
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间.
【精彩点拨】 (1)求t=0时所对应的电压.
(2)求函数的周期.(3)求函数的最值.
【自主解答】 (1)当t=0时,E=110(V),即开始时的电压为110V.
(2)T==(s),即时间间隔为0.02 s.
(3)电压的最大值为220V,
当100πt+=,即t=(s)时第一次取得最大值.

由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性,且均符合函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的变换规律,因此可借助于三角函数模型来研究物理学中的相关现象.

[再练一题]
1.如图1-9-1,一弹簧上挂的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图像,求:

图1-9-1
(1)经过多长时间,小球往复振动一次;
(2)这条曲线的函数解析式;
(3)小球开始振动时,离开平衡位置的位移.
【解】 (1)由图像可知,周期T=2×=π,
所以小球往复振动一次所需要的时间为π s.
(2)由题意可设该曲线的函数解析式为
s=Asin(ωt+φ),t[0,+∞).
从图像中可以看出A=4,又=π,所以ω=2.
从而s=4sin(2t+φ),将t=,s=4代入上式,
得sin=1,所以φ=.
故这条曲线的函数解析式为
s=4sin,t[0,+∞).
(3)当t=0时,s=4sin =2(cm).故小球开始振动时,离开平衡位置的位移是2 cm.
[探究共研型]
	三角函数的实际应用		探究1 建立三角函数模型解决实际问题的思路是什么?
【提示】(1)先寻找与角有关的信息,确定选用正弦、余弦还是正切函数模型.
(2)其次是搜集数据,建立三角函数解析式并解题.
(3)最后将所得结果翻译成实际答案.
探究2 如何建立拟合函数模型?
【提示】 (1)利用搜集到的数据,作出相应的“散点图”.
(2)观察“散点图”,并进行数据拟合,获得具体的函数模型.
(3)利用这个函数模型解决相应的实际问题,并进行检验.
探究3 由图像怎样确定y=Asin(ωx+φ)+b中的A和b.
【提示】 A=,b=.
 某港口的水深y(单位:m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,下面是水深数据:

t/h	0	3	6	9	12	15	18	21	24		y/m	10.0	13.0	9.9	7.0	10.0	13.0	10.1	7.0	10.0		根据上述数据描出曲线,如图1-9-2所示,经拟合,该曲线可近似地看做函数y=Asin ωt+b的图像.

图1-9-2
(1)试根据以上数据,求函数解析式;
(2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离不少于4.5 m时是安全的,如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m,那么该船何时能进入港口?在港口能待多久?
【精彩点拨】 (1)根据题意确定A,b,ω,φ.
(2)根据题意水深y≥11.5可求解.
【自主解答】 (1)从拟合曲线可知,函数y=Asin ωt+b在一个周期内由最大变到最小需9-3=6(h),此为半个周期,函数的最小正周期为12 h,
因此=12,得ω=.
当t=0时,y=10,b=10.
ymax=13,A=13-10=3.
所求函数的解析式为y=3sint+10(0≤t≤24).
(2)由于船的吃水深度为7 m,船底与海底的距离不少于4.5 m,故在船舶航行时水深y应不小于7+4.5=11.5(m).
当y≥11.5时就可以进港.
令y=3sint+10≥11.5,得sint≥,
+2kπ≤t≤+2kπ(kZ),
1+12k≤t≤5+12k(kZ).
取k=0,则1≤t≤5;取k=1,则13≤t≤17;
取k=2,则25≤t≤29(不合题意).
因此,该船可以在凌晨1点进港,5点出港或在13点进港,17点出港,每次可以在港口停留4小时.

根据给出的函数模型,利用表中的数据,找出变化规律,运用已学的知识与三角函数的知识,求出函数解析式中的参数,将实际问题转化为三角方程或三角不等式,然后解方程或不等式,可使问题得以解决.

[再练一题]
2.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数,其中0≤t≤24,记y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:
t	0	3	6	9	12	15	18	21	24		y	1.5	1.0	0.5	1.0	1.5	1	0.5	0.99	1.5		经长期观测,y=f(t)的图像可近似地看成函数y=Acos ωt+b的图像.
(1)根据以上数据,求其最小正周期,振幅及函数解析式;
(2)根据规定,当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的8:00到20:00之间,有多少时间可供冲浪者进行活动?
【解】 (1)由表中数据可知,T=12,所以ω=.
又t=0时,y=1.5,
所以A+b=1.5;t=3时,y=1.0,得b=1.0,所以振幅为,函数解析式为y=cost+1(0≤t≤24).
(2)因为y>1时,才对冲浪爱好者开放,所以
y=cost+1>1,cost>0,
2kπ-
        
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