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【课堂新坐标】2016-2017学年高二数学北师大版选修1-2学案:4.2 复数的四则运算

资料类别: 数学/学案

所属版本: 北师大版

所属地区: 全国

上传时间:2017/1/13

下载次数:187次

资料类型:

文档大小:362KB

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§2 复数的四则运算
2.1 复数的加法与减法
2.2 复数的乘法与除法

1.理解共轭复数的概念.(重点)
2.掌握复数的四则运算法则与运算律.(重点、难点)


[基础·初探]
教材整理1 复数的加法与减法
阅读教材P77“例1”以上部分,完成下列问题.
1.复数的加法
设a+bi(a,bR)和c+di(c,dR)是任意两个复数,定义复数的加法如下:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
2.复数的减法
设a+bi(a,bR)和c+di(c,dR)是任意两个复数,定义复数的减法如下:(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.

复数z1=2-i,z2=-2i,则z1+z2等于(  )
A.0       	B.+i
C.-i	D.-i
【解析】 z1+z2=+i=-i.
【答案】 C
教材整理2 复数的乘法与除法
阅读教材P78“练习”以下~P80,完成下列问题.
1.复数的乘法法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
2.复数乘法的运算律
对任意复数z1,z2,z3C,有
交换律	z1·z2=z2·z1		结合律	(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)		乘法对加法的分配律	z1(z2+z3)=z1z2+z1z3		3.共轭复数
如果两个复数的实部相等,虚部互为相反数,那么这样的两个复数叫作互为共轭复数.复数z的共轭复数用来表示,即z=a+bi,则=a-bi.
4.复数的除法法则
设z1=a+bi,z2=c+di(c+di≠0),则==+i.

(1+i)2-=________.
【解析】 (1+i)2-=2i-=-+i.
【答案】 -+i
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:________________________________________________________
解惑:__________________________________________________________
疑问2:________________________________________________________
解惑:__________________________________________________________
疑问3:________________________________________________________
解惑:__________________________________________________________

[小组合作型]
复数的加法与减法运算 (1)+(2-i)-=________;
(2)已知复数z满足z+1-3i=5-2i,求z;
(3)已知复数z满足|z|+z=1+3i,求z.
【精彩点拨】 (1)根据复数的加法与减法法则计算.
(2)设z=a+bi(a,bR),根据复数相等计算或把等式看作z的方程,通过移项求解.
(3)设z=x+yi(x,yR),则|z|=,再根据复数相等求解.
【自主解答】 (1)+(2-i)-=+i
=1+i.
【答案】 1+i
(2)法一:设z=x+yi(x,yR),因为z+1-3i=5-2i,所以x+yi+(1-3i)=5-2i,即x+1=5且y-3=-2,解得x=4,y=1,所以z=4+i.
法二:因为z+1-3i=5-2i,所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.
(3)设z=x+yi(x,yR),则|z|=,又|z|+z=1+3i,所以+x+yi=1+3i,由复数相等得解得所以z=-4+3i.

1.复数加法与减法运算法则的记忆
(1)复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相加减.
(2)把i看作一个字母,类比多项式加、减法中的合并同类项.
2.当一个等式中同时含有|z|与z时,一般要用待定系数法,设z=a+bi(a,bR).

[再练一题]
1.(1)复数(1-i)-(2+i)+3i等于(  )
A.-1+i 	B.1-i   C.i   D.-i
【解析】 (1-i)-(2+i)+3i=(1-2)+(-i-i+3i)=-1+i.故选A.
【答案】 A
(2)已知|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z=________.
【解析】 设z=x+yi(x,yR),=3,且z+3i=x+yi+3i=x+(y+3)i是纯虚数,则
由可得y=3.
z=3i.
【答案】 3i
复数的乘法与除法运算 已知复数z1=1+i,z2=3-2i.试计算: 
(1)z1·z2和z;
(2)z1÷z2和z÷z1.
【精彩点拨】 按照复数的乘法和除法法则进行.
【自主解答】 (1)z1·z2=3-2i+3i-2i2=5+i.
z=[(1+i)2]2=(2i)2=4i2=-4.
(2)z1÷z2====+i.
z÷z1===
==--i.

1.实数中的乘法公式在复数范围内仍然成立.
2.复数的四则运算次序同实数的四则运算一样,都是先算乘除,再算加减.
3.常用公式
(1)=-i;(2)=i;(3)=-i.

[再练一题]
2.(1)满足=i(i为虚数单位)的复数z=(  )
A.+i     	B.-i
C.-+i	D.--i
(2)若复数z满足z(1+i)=2i(i为虚数单位),则|z|=(  )
A.1      	B.2
C.	D.
【解析】 (1)=i,z+i=zi,i=z(i-1).
z====-i.
(2)z(1+i)=2i,z===1+i,
|z|==.
【答案】 (1)B (2)C
[探究共研型]
共轭复数的应用探究1 两个共轭复数的和一定是实数吗?两个共轭复数的差一定是纯虚数吗?
【提示】 若z=a+bi(a,bR),则=a-bi,则z+=2aR.因此,和一定是实数;而z-=2bi.当b=0时,两共轭复数的差是实数,而当b≠0时,两共轭复数的差是纯虚数.
探究2 若z1与z2是共轭复数,则|z1|与|z2|之间有什么关系?
【提示】 |z1|=|z2|.
 已知zC,为z的共轭复数,若z·-3i=1+3i,求z.
【精彩点拨】 设z=a+bi(a,bR),则=a-bi.代入所给等式,利用复数的运算及复数相等的充要条件转化为方程组求解.
【自主解答】 设z=a+bi(a,bR),则=a-bi,(a,bR),
由题意得(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i,
即a2+b2-3b-3ai=1+3i,
则有解得或
所以z=-1或z=-1+3i.
[再练一题]
3.已知复数z1=(-1+i)(1+bi),z2=,其中a,bR.若z1与z2互为共轭复数,求a,b的值.
【解】 z1=(-1+i)(1+bi)=-1-bi+i-b=(-b-1)+(1-b)i,
z2====+i,
由于z1和z2互为共轭复数,所以有
解得
[构建·体系]

1.设z1=2+i,z2=1-5i,则|z1+z2|为(  )
A.+    	B.5
C.25	D.
【解析】 |z1+z2|=|(2+i)+(1-5i)|
=|3-4i|==5.
【答案】 B
2.已知i是虚数单位,则(-1+i)(2-i)=(  )
A.-3+i	B.-1+3i
C.-3+3i	D.-1+i
【解析】 (-1+i)(2-i)=-1+3i.
【答案】 B
3.设复数z1=1+i,z2=x+2i(xR),若z1z2R,则x=________.
【解析】 z1=1+i,z2=x+2i(xR),
z1z2=(1+i)(x+2i)=(x-2)+(x+2)i.
z1z2∈R,x+2=0,即x=-2.
【答案】 -2
4.若=a+bi(i为虚数单位,a,bR),则a+b=________.
【解析】 因为==1+i,所以1+i=a+bi,所以a=1,b=1,所以a+b=2.
【答案】 2
5.已知复数z满足|z|=,且(1-2i)z是实数,求.
【解】 设z=a+bi(a,bR),则(1-2i)z=(1-2i)·(a+bi)=(a+2b)+(b-2a)i,又因为(1-2i)z是实数,所以b-2a=0,即b=2a,又|z|=,所以a2+b2=5,解得a=±1,b=±2,
z=1+2i或-1-2i,
=1-2i或-1+2i,
=±(1-2i).

我还有这些不足:
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案:
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________

 学业分层测评(十三)
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.实数x,y满足z1=y+xi,z2=yi-x,且z1-z2=2,则xy的值是(  )
A.1       	B.2
C.-2	D.-1
【解析】 z1-z2=y+xi-(yi-x)=x+y+(x-y)i=2,
∴x=y=1.
xy=1.
【答案】 A
2.已知复数z+3i-3=3-3i,则z=(  )
A.0	B.6i
C.6	D.6-6i
【解析】 z+3i-3=3-3i,
z=(3-3i)-(3i-3)
=6-6i.
【答案】 D
3.复数z=-ai,aR,且z2=-i,则a的值为(  )
A.1	B.2
C.	D.
【解析】 由z=-ai,aR,得z2=2-2××ai+(ai)2=-a2-ai,因为z2=-i,所以解得a=.
【答案】 C
4.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是(  )
A.等腰三角形	B.直角三角形
C.等边三角形	D.等腰直角三角形
【解析】 复数z1对应向量,复数z2对应向量.
则|z1+z2|=|+|,|z1-z2|=|-|,
依题意有|+|=|-|.
以,为邻边所作的平行四边形是矩形.
AOB是直角三角形.
【答案】 B
5.已知复数z=,是z的共轭复数,则z·等于(  )
A.  B.
C.1	D.2
【解析】 z===
===-+,
=--,
z·=.
【答案】 A
二、填空题
6.复数的值是________ .
【解析】 ==-1.
【答案】 -1
7.已知=b+i(a,bR),其中i为虚数单位,则a+b=__________.
【解析】 =b+i,
a+2i=(b+i)i=-1+bi,
a=-1,b=2,
a+b=1.
【答案】 1
8.已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=________.
【解】 法一:设z=a+bi(a,bR).
则|z|=,
代入方程得a+bi+=2+8i.
解得
z=-15+8i.
法二:原式可化为z=2-|z|+8i,
|z|∈R,2-|z|是z的实部,
于是|z|=,
即|z|2=68-4|z|+|z|2,|z|=17.
代入z=2-|z|+8i,得z=-15+8i.
【答案】 -15+8i
三、解答题
9.在复平面内A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.
(1)求,,对应的复数;
(2)判断ABC的形状;
(3)求ABC的面积.
【解】 (1)对应的复数为2+i-1=1+i,对应的复数为-1+2i-(2+i)=-3+i,对应的复数为-1+2i-1=-2+2i.
(2)||=,||=,||==2,
||2+||2=||2,ABC为直角三角形.
(3)SABC=××2=2.
10.已知复数z满足z=(-1+3i)(1-i)-4.
(1)求复数z的共轭复数; 
(2)若w=z+ai,且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模,求实数a的取值范围.
【解】 (1)z=-1+i+3i+3-4=-2+4i,
所以复数z的共轭复数为-2-4i.
(2)w=-2+(4+a)i,复数w对应向量为(-2,4+a),其模为=.
又复数z所对应向量为(-2,4),其模为2.由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模,得20+8a+a2≤20,a2+8a≤0,a(a+8)≤0,
所以实数a的取值范围是-8≤a≤0.
[能力提升]
1.(2016·宁夏高二检测)设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是(  )
A.若|z1-z2|=0,则1=2
B.若z1=2,则1=z2
C.若|z1|=|z2|,则z1·1=z2·2
D.若|z1|=|z2|,则z=z
【解析】 A,|z1-z2|=0z1-z2=0z1=z21=2,真命题;
B,z1=21=2=z2,真命题;
C,|z1|=|z2||z1|2=|z2|2z1·1=z2·2,真命题;
D,当|z1|=|z2|时,可取z1=1,z2=i,显然z=1,z=-1,即z≠z,假命题.
【答案】 D
2.复数z=x+yi(x,yR)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为(  )
A.2	B.4  C.4  D.16
【解析】 由|z-4i|=|z+2|,得
|x+(y-4)i|=|x+2+yi|,
x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,
即x+2y=3,
2x+4y=2x+22y≥2=2=4,
当且仅当x=2y=时,2x+4y取得最小值4.
【答案】 C
3.若复数z=的实部为3,则z的虚部为__________.
【解析】 z==
==+i.由题意知=3,a=-1,z=3+i.
z的虚部为1.
【答案】 1
4.已知z为复数,为实数,为纯虚数,求复数z.
【解】 设z=a+bi(a,bR),
则==(a-1+bi)·(-i)=b-(a-1)i.
因为为实数,所以a-1=0,即a=1.
又因为==为纯虚数,
所以a-b=0,且a+b≠0,所以b=1.
故复数z=1+i.












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