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【课堂新坐标】2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案:1.8.2 函数y=Asin(ωx+φ)的性质

资料类别: 数学/学案

所属版本: 北师大版

所属地区: 全国

上传时间:2017/1/13

下载次数:152次

资料类型:

文档大小:383KB

所属点数: 0

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第2课时 函数y=Asin(ωx+φ)的性质

1.掌握函数y=Asin(ωx+φ)的周期、单调性及最值的求法.(重点) 
2.理解函数y=Asin(ωx+φ)的对称性.(难点)


[基础·初探]
教材整理 函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质
阅读教材P53~P55“练习3”以上部分,完成下列问题.
函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质
定义域	R		值域	[-A,A]		周期	T=		对称轴方程	由ωx+φ=kπ+(kZ)求得		对称中心	由ωx+φ=kπ(kZ)求得		单调性	递增区间由
2kπ-≤ωx+φ≤2kπ+(kZ)求得;
递减区间由
2kπ+≤ωx+φ≤2kπ+π(kZ)求得		
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=sin,xR的值域为.(  )
(2)函数y=2sin的周期为4π.(  )
(3)函数y=6sin,xR的一个对称中心为.(  )
(4)函数y=3sin,xR的一条对称轴为x=.(  )
【解析】 由y=Asin(ωx+φ)的性质,故(1)(3)(4)均正确.(2)中,T==6π,因而(2)错.
【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问2:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问3:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
[小组合作型]

	函数y=Asin(ωx+φ)的最值问题		 求函数y=sin,x的值域.
【精彩点拨】 将2x+看作整体u,利用y=sin u的图像可求.
【自主解答】 0≤x≤,
0≤2x≤π,≤2x+≤,
-≤sin≤1,
-1≤sin≤,即-1≤y≤,函数y=sin,x的值域为[-1,].

求函数y=Asin(ωx+φ),x[m,n]的值域的步骤:
(1)换元,u=ωx+φ,并求u的取值范围;
(2)作出y=sin u(注意u的取值范围)的图像;
(3)结合图像求出值域.

[再练一题]
1.已知函数f(x)=asin+1(a>0)的定义域为R,当-≤x≤-时,f(x)的最大值为2,求a的值. 

【解】 因为-≤x≤-.
所以-≤2x≤-,
即-≤2x+≤.
结合函数图像知f(x)max=a+1,
所以a+1=2,即a=2.

	y=Asin(ωx+φ)的单调区间		设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)的图像的一条对称轴是直线x=.
(1)求φ;
(2)求函数y=f(x)的单调递增区间;
(3)画出函数y=f(x)在[0,π]上的图像.
【精彩点拨】 由已知条件、结合图像,易求得φ,然后视2x+φ为一个整体,求出单调区间.
【自主解答】 (1)x=是函数y=f(x)的图像的对称轴,
sin=±1,
+φ=kπ+(kZ).
-π<φ<0,
φ=-.
(2)由(1)知,φ=-,因此y=sin.由题意得2kπ-≤2x-≤2kπ+(kZ),kπ+≤x≤kπ+π(kZ),
函数y=sin的单调递增区间为,kZ.
(3)根据y=sin,列表如下:
x	0					π		y	-	-1	0	1	0	-		故函数y=f(x)在区间[0,π]上的图像如图所示:


1.由已知条件确定y=Asin(ωx+φ)的解析式时,应注意利用函数的性质确定它的参数.
2.求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,常视ωx+φ为一个整体,通过y=sin x的单调区间,求得函数的单调区间.

[再练一题]
2.求函数y=sin的单调区间.
【解】 y=sin=-sin,
原函数的单调区间与y=sin的单调区间相反.
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ(kZ),得
+kπ≤x≤+kπ(kZ).
即原函数的单调减区间为(kZ),
由+2kπ≤2x-≤+2kπ(kZ),得原函数的单调增区间为(kZ).
即函数y=sin的单调减区间是(kZ),
单调增区间是(kZ).
[探究共研型]

	函数y=Asin(ωx+φ)性质的综合应用		探究1 函数y=Asin(ωx+φ)的对称中心和对称轴各有什么特点?
【提示】 对称中心为图像与x轴的交点;对称轴为过其图像最高点或最低点与x轴垂直的直线.
探究2 y=sin是偶函数吗?
【提示】 是.因为sin=cos ωx.所以y=sin是偶函数.
探究3 函数y=Asin(ωx+φ)的图像关于点(x0,0)成中心对称意味着什么?
【提示】 意味着图像过点(x0,0),即点的坐标适合函数解析式.
 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图像关于点M对称,且在区间上是单调函数,求φ和ω的值.
【精彩点拨】 根据对称轴,对称中心的特征建立方程求解.
【自主解答】 由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),即函数f(x)的图像关于y轴对称,
f(x)在x=0时取得最值,即sin φ=±1.
依题设0≤φ≤π,解得φ=.
由f(x)的图像关于点M对称,可知sin=0,解得ω=-,kZ.
又f(x)在上是单调函数,
T≥π,即≥π,ω≤2.又ω>0,
当k=1时,ω=;当k=2时,ω=2,
φ=,ω=2或ω=.

函数y=Asin(ωx+φ)的性质的应用
1.应用范围
函数的单调性、最值、奇偶性、图像的对称性等方面都有体现和考查.
2.解决的方法
求函数y=Asin(ωx+φ)+b的周期、单调区间、最值、对称轴或对称中心问题,都可令ωx+φ=u,套用y=sin u的一系列性质顺利解决.

[再练一题]
3.若函数y=Asin(ωx+φ)的最大值为2,其相邻的最高点与最低点横坐标之差为3π,又图像过(0,),求函数的解析式及单调区间.
【解】 函数y=Asin(ωx+φ)的最大值为2,其相邻的最高点与最低点横坐标之差为3π,
A=2,=3π,=6π,ω=,
y=2sin.
又函数图像过点(0,),0<φ<,
2sin φ=,φ=,
函数解析式为y=2sin.
由-+2kπ≤x+≤+2kπ,
得-π+6kπ≤x≤π+6kπ(kZ),
所以单调增区间为(kZ).
由+2kπ≤x+≤+2kπ(kZ),得
π+6kπ≤x≤π+6kπ(kZ),
所以单调减区间为(kZ).
[构建·体系]

1.函数y=2sin+2的最大值为(  )
A.2   	B.4   
C.3   	D.5
【解析】 由于xR,-1≤sin≤1,y≤2+2=4.
【答案】 B
2.函数f(x)=sin的图像的一条对称轴是(  )
A.x= 	B.x=
C.x=- 	D.x=-
【解析】 由x-=+kπ,得x=kπ+π(kZ),
令k=-1,得x=-.
【答案】 C
3.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在一个周期内当x=时有最大值2,当x=时有最小值-2,则ω=________.
【解析】 由题意知T=2×=π,所以ω==2.
【答案】 2
4.y=2sin的图像的两条相邻对称轴之间的距离是________. 

【解析】由函数图像知两条相邻对称轴之间的距离为半个周期,即·=.
【答案】 
5.求函数y=2sin的单调减区间.
【解】 y=2sin=-2sin,所以其单调减区间为y=2sin的增区间,
由2kπ-≤x-≤2kπ+(kZ),得2kπ-≤x≤2kπ+π(kZ),
所以函数y=2sin的单调减区间为(kZ).

我还有这些不足:
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案:
(1)______________________________________________________________
(2)____________________________________














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