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【课堂新坐标】2016-2017学年高二数学北师大版选修1-2学案:3.4 反证法

资料类别: 数学/学案

所属版本: 北师大版

所属地区: 全国

上传时间:2017/1/13

下载次数:187次

资料类型:

文档大小:386KB

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§4 反证法

1.了解间接证明的一种基本方法——反证法.
2.理解反证法的概念及思考过程和特点.(难点)
3.掌握反证法证题的基本步骤,会用反证法证明相关的数学问题.(重点、难点)


[基础·初探]
教材整理 反证法
阅读教材P65~P67“练习”以上内容,完成下列问题.
1.反证法的定义
在证明数学命题时,先假定命题结论的反面成立,在这个前提下,若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与假定相矛盾,从而说明命题结论的反面不可能成立,由此断定命题的结论成立.这种证明方法叫作反证法.
2.反证法证明的思维过程
反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”,即从否定结论开始,经过正确的推理,导出逻辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.
用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用框图3­4­1表示:
→→→
图3­4­1

判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)反证法属于间接证明问题的方法.(  )
(2)反证法的证明过程既可以是合情推理,也可以是一种演绎推理.(  )
(3)反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾.(  )
【解析】 (1)正确.反证法其实是证明其逆否命题成立,所以它属于间接问题的方法.
(2)错误.反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理.
(3)错误.反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾.
【答案】 (1)√ (2)× (3)×
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:________________________________________________________
解惑:__________________________________________________________
疑问2:________________________________________________________
解惑:__________________________________________________________
疑问3:________________________________________________________
解惑:__________________________________________________________

[小组合作型]
用反证法证明否定性命题 等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+,S3=9+3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn;
(2)设bn=(nN+),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
【精彩点拨】 第(1)问应用an=a1+(n-1)d和Sn=na1+n(n-1)d两式求解.第(2)问先假设存在三项bp,bq,br成等比数列,再用反证法证明.
【自主解答】 (1)设等差数列{an}的公差为d,由已知得

d=2,故an=2n-1+,Sn=n(n+).
(2)证明:由(1)得bn==n+.
假设数列{bn}中存在三项bp,bq,br(p,q,r互不相等)成等比数列,则b=bpbr,
即(q+)2=(p+)(r+),
(q2-pr)+(2q-p-r)=0.
p,q,rN+,
∴2=pr,(p-r)2=0,
p=r,这与p≠r矛盾.
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

1.当结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题,此类问题的反面比较具体,适合应用反证法.例如证明异面直线,可以假设共面,再把假设作为已知条件推导出矛盾.
2.反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件进行推证,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法.
3.常见否定词语的否定形式如下表所示:
否定词语	否定词语的否定形式		没有	有		不大于	大于		不等于	等于		不存在	存在		

[再练一题]
1.已知方程f(x)=ax+(a>1),证明:方程f(x)=0没有负数根.
【证明】 假设x0是方程f(x)=0的负数根,则x0<0,x0≠-1且ax0+=0,所以ax0=-.
又当x0<0时,00,y>0,且x+y>2,求证:与至少有一个小于2.
【证明】 假设与都不小于2,
即≥2,≥2.
x>0,y>0,1+y≥2x,1+x≥2y,
两式相加得2+(x+y)≥2(x+y),
x+y≤2,这与已知中x+y>2矛盾,
假设不成立,原命题成立.
故与至少有一个小于2.
[探究共研型]
用反证法证明“唯一性”命题探究1 用反证法证明数学命题的步骤是什么?
【提示】 (1)反设:假设命题的结论不成立,即假定原结论的反面为真.
(2)归谬:从反设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾的结果.
(3)存真:由矛盾的结果断定反设不真,从而肯定原结论成立.
探究2 如何证明两条相交直线有且只有一个交点?
【提示】 假设两条直线a,b不只有一个交点,则至少有两个交点A和B,这样同时经过点A,B的直线就有两条,这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾.所以两条相交直线有且只有一个交点.
 已知一点A和平面α.求证:经过点A只能有一条直线和平面α垂直.
【精彩点拨】 
【自主解答】 根据点A和平面α的位置关系,分两种情况证明.
(1)如图,点A在平面α内,假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB,AC,那么AB,AC是两条相交直线,它们确定一个平面β,平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.因为AB平面α,AC平面α,aα,所以ABa,ACa,在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直,这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾.
①
(2)如图,点A在平面α外,假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB和AC(B,C为垂足),那么AB,AC是两条相交直线,它们确定一个平面β,平面β和平面α相交于直线BC,因为AB平面α,AC平面α,BCα,所以ABBC,ACBC.

②
在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直,这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾.
综上,经过一点A只能有一条直线和平面α垂直.

证明“有且只有一个”的问题,需要证明两个命题,即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时,由于反设结论易于导出矛盾,所以用反证法证其唯一性就较简单明了.

[再练一题]
3.若函数f(x)在区间[a,b]上的图像连续不断,且f(a)<0,f(b)>0,且f(x)在[a,b]上单调递增,求证:f(x)在(a,b)内有且只有一个零点.
【证明】 由于f(x)在[a,b]上的图像连续不断,且f(a)<0,f(b)>0,即f(a)·f(b)<0,
所以f(x)在(a,b)内至少存在一个零点,设零点为m,
则f(m)=0,
假设f(x)在(a,b)内还存在另一个零点n,
即f(n)=0,则n≠m.
若n>m,则f(n)>f(m),即0>0,矛盾;
若nB,则a>b”的结论的否定应该是(  )
A.a180°,这与三角形内角和为180°相矛盾,A=B=90°不成立;所以一个三角形中不能有两个直角;假设三角形的三个内角A,B,C中有两个直角,不妨设A=B=90°,正确顺序的序号为(  )
A.     	B.
C.	D.
【解析】 根据反证法的步骤,应该是先提出假设,再推出矛盾,最后否定假设,从而肯定结论.
【答案】 D
二、填空题
6.(2016·南昌高二检测)命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是__________________.
【解析】 “至少有一个”的否定是“没有一个”.
【答案】 任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形
7.(2016·汕头高二检测)用反证法证明命题“如果a>b,那么>”时,假设的内容应是________.
【解析】 与的关系有三种情况:>,=和<,所以“>”的反设应为“≤”.
【答案】 ≤
8.(2016·石家庄高二检测)设a,b是两个实数,给出下列条件:a+b=1;a+b=2;a+b>2;a2+b2>2.
其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号).
【解析】 若a=,b=,则a+b=1,但a<1,b<1,故不能推出.若a=b=1,则a+b=2,故不能推出.
若a=-2,b=1,则a2+b2>2,故不能推出.
对于,即a+b>2,则a,b中至少有一个大于1.
反证法:假设a≤1且b≤1,则a+b≤2与a+b>2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.
【答案】 
三、解答题
9.已知xR,a=x2+,b=2-x,c=x2-x+1,试证明:a,b,c至少有一个不小于1.
【证明】 假设a,b,c均小于1,即a<1,b<1,c<1,则有a+b+c<3.
而与a+b+c=2x2-2x++3=22+3≥3矛盾,故假设不成立,即a,b,c至少有一个不小于1.
10.已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列,求证: , , 不成等差数列.
【证明】 假设, , 成等差数列,则+=
2,两边同时平方得a+c+2=4b.
把b2=ac代入a+c+2=4b,可得a+c=2b,即a,b,c成等差数列,这与a,b,c不成等差数列矛盾.
所以, , 不成等差数列.
[能力提升]
1.有以下结论:
已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2;
已知a,bR,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1.
下列说法中正确的是(  )
A.与的假设都错误
B.与的假设都正确
C.的假设正确;的假设错误
D.的假设错误;的假设正确
【解析】 用反证法证题时一定要将对立面找准.在中应假设p+q>2,故的假设是错误的,而的假设是正确的.
【答案】 D
2.已知命题“在ABC中,A≠B.求证sin A≠sin B”.若用反证法证明,得出的矛盾是(  )
A.与已知条件矛盾
B.与三角形内角和定理矛盾
C.与已知条件矛盾且与三角形内角和定理矛盾
D.与大边对大角定理矛盾
【解析】 证明过程如下:假设sin A=sin B,因为02,与相矛盾.
故数列{cn}不是等比数列.












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