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【课堂新坐标】2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案:1.7 正切函数

资料类别: 数学/学案

所属版本: 北师大版

所属地区: 全国

上传时间:2017/1/13

下载次数:183次

资料类型:

文档大小:502KB

所属点数: 0

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§7 正切函数
7.1 正切函数的定义
7.2 正切函数的图像与性质
7.3 正切函数的诱导公式

1.理解任意角的正切函数的定义.
2.能画出y=tan x的图像.(重点)
3.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性,及其在区间内的单调性.(重点)
 4.正切函数诱导公式的推导及应用.(难点)


[基础·初探]
教材整理1 正切函数的定义、图像及性质
阅读教材P36~P38“动手实践”以上部分,完成下列问题.
1.正切函数的定义
在直角坐标系中,如果角α满足:αR,α≠+kπ(kZ),且角α的终边与单位圆交于点P(a,b),那么比值叫作角α的正切函数,记作y=tan α,其中αR,α≠+kπ(kZ).
2.正切线
如图1-7-1所示,线段AT为角α的正切线.

图1-7-1
3.正切函数的图像与性质
图像			性
质	定义域				值域	R			奇偶性	奇函数			周期性	周期为kπ(kZ,k≠0),最小正周期为π			单调性	在,kZ上是增加的			对称性	该图像的对称中心为,kZ		
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正切函数y=tan x的定义域为R.(  )
(2)正切函数y=tan x的最小正周期为π.(  )
(3)正切函数y=tan x是奇函数.(  )
(4)正切函数y=tan x的图像关于x轴对称.(  )
【解析】 (1)y=tan x的定义域为.
(2)y=tan x的周期为kπ(kZ),最小正周期为π.
(3)因为y=tan x的定义域关于原点对称,且tan(-x)=-tan x,故为奇函数.
(4)由图知,正切函数图像既不关于x轴对称,也不关于y轴对称.
【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
教材整理2 正切函数的诱导公式
阅读教材P38~P39例1以上部分,完成下列问题.
正切函数的诱导公式
角x	函数y=tan x	记忆口诀		kπ+α	tan α	函数名不变,符号看象限		2π+α	tan α			-α	-tan α			π-α	-tan α			π+α	tan α			+α	-cot α	函数名改变,符号看象限		-α	cot α			
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)tan=cot α.(  )
(2)正切函数的诱导公式中的角为任意角.(  )
(3)tan(kπ-α)=-tan α.(  )
【解析】 (1)tan=tan=
tan=cot α,所以(1)正确.
(2)无论角α是哪个象限的角,诱导公式都适合,故(2)正确.
(3)tan(kπ-α)=-tan α,故(3)正确.
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问2:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问3:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
[小组合作型]
	利用定义求正切值		 如图1-7-2,设A是单位圆和x轴正半轴的交点,P,Q是单位圆上的两点,O是坐标原点,AOP=,AOQ=α,α[0,π).
图1-7-2
(1)若已知角θ的终边与OP所在的射线关于x轴对称,求tan θ;
(2)若已知Q,试求tan α.
【精彩点拨】求出角的终边与单位圆的交点后,利用正切函数的定义求解.
【自主解答】 (1)角θ的终边与OP所在的射线关于x轴对称,且P,
故θ的终边与单位圆交于P′,
则tan θ==-.
(2)AOQ=α且Q,
tan α==.

1.解决本题的关键是熟记正切函数的定义,即tan α=.
2.已知角终边上的一点M(a,b)(a≠0),求该角的正切函数值,或者已知角α的正切值,求角α终边上一点的坐标,都应紧扣正切函数的定义求解,在解题过程中,应注意分子、分母的位置.
3.tan α=知其中两个,可求另一个.

[再练一题]
1.角α的终边经过点P(-b,4)且cos α=-,求tan α的值. 

【解】 由题意知cos α==-,b=±3.又cos α=-<0,
P在第二象限,b=3.
tan α=-.

	利用诱导公式求值或化简		 (1)化简:;
(2)求值:.
【精彩点拨】 解答本题可依据先用周期性或关于-α的诱导公式,把角绝对值“化小”,再利用恰当的公式化简.
【自主解答】 (1)原式=

==-cos α.
(2)原式=
===2-.

在使用诱导公式化简时,一定要记准诱导公式中名称变还是不变以及准确判断角所在象限.一般地,我们将α看作锐角(实质上是任意角),那么π-α,π+α,2π-α,+α,-α分别是第二、三、四、二、一象限的角.

[再练一题]
2.(1)化简:;
(2)若a=,求a2+a+1的值.
【解】 (1)
==
==1.
(2)a=
==
==1,
a2+a+1=1+1+1=3.

	正切函数的图像及应用		 利用正切函数的图像作出y=|tan x|的图像,并写出使y=的x的集合.
【精彩点拨】 先化成分段函数,再借助正切函数的图像作图.
【自主解答】 当x时,y=tan x≤0,
当x时,y=tan x>0,
y=|tan x|=
如图所示.

使y=的x的集合为.

1.三点两线画图法
“三点”是指,(0,0),;“两线”是指x=-和x=.在三点、两线确定的情况下,类似于五点法作图,可大致画出正切函数在上的简图,然后向右、向左扩展即可得到正切曲线.
2.如果由y=f(x)的图像得到y=f(|x|)及y=|f(x)|的图像,可利用图像中的对称变换法完成;即只需作出y=f(x)(x≥0)的图像,令其关于y轴对称便可以得到y=f(|x|)(x≤0)的图像;同理只要作出y=f(x)的图像,令图像“上不动下翻上”便可得到y=|f(x)|的图像.
3.利用函数的图像可直观地研究函数的性质,如判断奇偶性、周期性、解三角不等式等.

[再练一题]
3.求下列函数的定义域.
(1)y=;
(2)y=+lg(1-tan x).
【解】 (1)由得
函数的定义域为.
(2)要使函数y=+lg(1-tan x)有意义.
则0≤tan x<1.由正切函数的图像可得kπ≤x0,求f(x)在上的值域.
【精彩点拨】 通过f(-x)与f(x)的关系判断奇偶性,求单调区间时注意a的符号.
【自主解答】 (1)f(x)=-atan x(a≠0),x,
f(-x)=-atan(-x)=atan x=-f(x).
又定义域关于原点对称,
f(x)为奇函数.
(2)f(x)的最小正周期为π.
(3)y=tan x在(kZ)上单调递增,
当a>0时,f(x)在上单调递减,
当a<0时,f(x)在上单调递增.
(4)当a>0时,f(x)在上单调递减,
故x=时,f(x)max=-a,无最小值.
f(x)的值域为(-∞,-a].

1.由函数的性质(如周期性、有界性、对称性)可指导我们画出函数的图像.
2.由函数的图像又可以直观地总结函数的性质.函数的主要性质包括定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性.

[再练一题]
4.画出函数y=tan |x|的图像,并根据图像判断其单调区间、奇偶性.
【解】 由y=tan |x|得,
y=
根据y=tan x的图像,作出y=tan |x|的图像如图所示:

由图像可知,函数y=tan |x|是偶函数.
单调增区间为:,(k=0,1,2,3,…);
单调减区间为:,(k=0,-1,-2,-3,…).
[构建·体系]

1.tan 的值为(  )
A.         	B.-
C. 	D.-
【解析】 tan =tan=-tan=-.
【答案】 D
2.函数y=tan的定义域是(  )
A. 	B.
C. 	D.
【解析】 由题意得x+≠kπ+,kZ,所以x≠kπ+,kZ.
【答案】 D
3.已知角α的终边上一点P(-2,1),则tan α=________.
【解析】 由正切函数的定义知tan α==-.
【答案】 -
4.函数y=tan x,x的值域是________. 

【解析】 函数y=tan x在上是增加的,所以ymax=tan=1,ymin=tan 0=0.
【答案】 [0,1]
5.求以下各式的值.
(1)7cos 270°+3sin 270°+tan 765°;
(2).
【解】 (1)原式=7cos(180°+90°)+3sin(180°+90°)+tan(2×360°+45°)=-7cos 90°-3sin 90°+tan 45°
=0-3×1+1=-2.
(2)原式=
=
==2+.

我还有这些不足:
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案:
(1)______________________________________________________________
(2)____________________________________














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