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【课堂新坐标】2016-2017学年高二数学北师大版选修1-2学案:3.3.2 分析法

资料类别: 数学/学案

所属版本: 北师大版

所属地区: 全国

上传时间:2017/1/13

下载次数:164次

资料类型:

文档大小:416KB

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3.2 分析法

1.了解分析法的思维过程、特点.(重点)
2.会用分析法证明数学问题.(难点)


[基础·初探]
教材整理 分析法
阅读教材P61~P63,完成下列问题.
1.分析法的定义
从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件,直到归结为这个命题的条件,或者归结为定义、公理、定理等,这种思维方法称为分析法.
2.分析法证明的思维过程
用Q表示要证明的结论,则分析法的思维过程可用框图3­3­6表示为:
→→→…→
图3­3­6
3.综合法和分析法的综合应用
在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q′;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P′.若由P′可以推出Q′成立,即可证明结论成立.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)分析法就是从结论推向已知.(  )
(2)分析法的推理过程要比综合法优越.(  )
(3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明.(  )
【解析】 (1)错误.分析法又叫逆推证法,但不是从结论推向已知,而是寻找使结论成立的充分条件的过程.
(2)错误.分析法和综合法各有优缺点.
(3)正确.一般用综合法证明的题目均可用分析法证明,但并不是所有的证明题都可使用分析法证明.
【答案】 (1)× (2)× (3)√
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:________________________________________________________
解惑:__________________________________________________________
疑问2:________________________________________________________
解惑:__________________________________________________________
疑问3:________________________________________________________
解惑:__________________________________________________________

[小组合作型]
应用分析法证明不等式 已知a>b>0,求证:<-<.
【精彩点拨】 本题用综合法不易解决,由于变形后均为平方式,因此要先将式子两边同时开方,再找出使式子成立的充分条件.
【自主解答】 要证<-
<,
只需证<<.
a>b>0,
同时除以,得<1<,
同时开方,得<1<,
只需证+<2,且+>2,
即证<,即证bb>0,原不等式成立,
即<-<.

1.分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式.
2.分析法证明数学命题的过程是逆向思维,即结论…⇐…⇐…已知,因此,在叙述过程中,“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少,否则会出现错误.

[再练一题]
1.(2016·合肥高二检测)已知a>0,求证:-≥a+-2.
【证明】 要证-≥a+-2,
只需证+2≥a++,
即证2≥2,
即a2++4 +4≥a2++2 +4,
只需证2≥ .
只需证4≥2,
即a2+≥2.
上述不等式显然成立,故原不等式成立.
用分析法证明其他问题 (2016·合肥高二检测)求证:以过抛物线y2=2px(p>0)焦点的弦为直径的圆必与直线x=-相切.
【精彩点拨】 

【自主解答】 如图所示,过点A,B分别作AA′,BB′垂直准线于点A′,B′,取AB的中点M,作MM′垂直准线于点M′.要证明以AB为直径的圆与准线相切,只需证|MM′|=|AB|.由抛物线的定义有|AA′|=|AF|,|BB′|=|BF|,
所以|AB|=|AA′|+|BB′|,
因此只需证|MM′|=(|AA′|+|BB′|).
根据梯形的中位线原理可知上式是成立的,所以以过抛物线y2=2px焦点的弦为直径的圆必与直线x=-相切.

1.分析法是逆向思维,当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时,往往采用分析法.
2.分析法的思路与综合法正好相反,它是从要求证的结论出发,倒着分析,由未知想需知,由需知逐渐地靠近已知,即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等.

[再练一题]
2.已知=1,求证:cos α-sin α=3(cos α+sin α).
【证明】 要证cos α-sin α=3(cos α+sin α),
只需证=3,只需证=3,
只需证1-tan α=3(1+tan α),只需证tan α=-.
=1,1-tan α=2+tan α,即2tan α=-1.
tan α=-显然成立,结论得证.
[探究共研型]
综合法与分析法的综合应用探究1 综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理?
【提示】 综合法与分析法的推理过程是演绎推理,它们的每一步推理都是严密的逻辑推理,从而得到的每一个结论都是正确的,不同于合情推理中的“猜想”.
探究2 综合法与分析法有什么区别?
【提示】 综合法是从已知条件出发,逐步寻找的是必要条件,即由因导果;分析法是从待求结论出发,逐步寻找的是充分条件,即执果索因.
 在某两个正数x,y之间,若插入一个数a,则能使x,a,y成等差数列;若插入两个数b,c,则能使x,b,c,y成等比数列,求证:(a+1)2≥(b+1)(c+1). 
【精彩点拨】 可用分析法找途径,用综合法由条件顺次推理,易于使条件与结论联系起来.
【自主解答】 由已知条件得
消去x,y得2a=+,
且a>0,b>0,c>0.
要证(a+1)2≥(b+1)(c+1),
只需证a+1≥,因≤,
只需证a+1≥,
即证2a≥b+c.
由于2a=+,
故只需证+≥b+c,
只需证b3+c3=(b+c)(b2+c2-bc)≥(b+c)bc,
即证b2+c2-bc≥bc,即证(b-c)2≥0.
因为上式显然成立,所以(a+1)2≥(b+1)(c+1).

综合法推理清晰,易于书写,分析法从结论入手,易于寻找解题思路,在实际证明命题时,常把分析法与综合法结合起来使用,称为分析综合法,其结构特点是根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P;若由P可推出Q,即可得证.

[再练一题]
3.已知ABC的三个内角A,B,C成等差数列,求证:+=.
【证明】 要证+=,
即证+=3,
即证+=1,
只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),
只需证c2+a2=ac+b2.
A,B,C成等差数列,
2B=A+C,
又A+B+C=180°,B=60°.
c2+a2-b2=2accos B,
c2+a2-b2=ac,
c2+a2=ac+b2,
+=成立.
[构建·体系]
1.要证明+>2,可选择的方法有以下几种,其中最合理的是(  )
A.综合法    	B.分析法
C.比较法	D.归纳法
【解析】 由分析法和综合法定义可知选B.
【答案】 B
2.已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则(  )
A.a≤	B.ab≥
C.a2+b2≥2	D.a2+b2≤3
【解析】 a+b=2≥2,ab≤1.
∵a2+b2=4-2ab,a2+b2≥2.
【答案】 C
3.-<成立的充要条件是(  )
A.ab(b-a)>0	B.ab>0且a>b
C.ab<0且a0,b>0,c>0,若a+b+c=1,则++的最小值为________.
【解析】 因为a+b+c=1,且a>0,b>0,c>0,
所以++=++
=3++++++
≥3+2+2+2
=3+6=9.
当且仅当a=b=c时等号成立.
【答案】 9
5.已知a,b,cR且不全相等,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca.
【证明】 法一:(分析法)
要证a2+b2+c2>ab+bc+ca,
只需证2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ca),
只需证(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)+(c2+a2-2ca)>0,
只需证(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2>0,
因为a,b,cR,
所以(a-b)2≥0,(b-c)2≥0,(c-a)2≥0.
又因为a,b,c不全相等,
所以(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2>0成立.
所以原不等式a2+b2+c2>ab+bc+ca成立.
法二:(综合法)
因为a,b,cR,
所以(a-b)2≥0,(b-c)2≥0,(c-a)2≥0.
又因为a,b,c不全相等,
所以(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2>0,
所以(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)+(c2+a2-2ca)>0,
所以2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ca),
所以a2+b2+c2>ab+bc+ca.

我还有这些不足:
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案:
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________

学业分层测评(十)
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.若a,bR,则>成立的一个充分不必要条件是(  )
A.ab>0      	B.b>a
C.a,但>不能推出a成立的一个充分不必要条件.
【答案】 C
2.求证:-1>-.
证明:要证-1>-,
只需证+>+1,
即证7+2+5>11+2+1,即证>,
35>11,
原不等式成立.
以上证明应用了(  )
A.分析法
B.综合法
C.分析法与综合法配合使用
D.间接证法
【解析】 该证明方法符合分析法的定义,故选A.
【答案】 A
3.(2016·汕头高二检测)要证a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明(  )
A.2ab-1-a2b2≤0
B.a2+b2-1-≤0
C.-1-a2b2≤0
D.(a2-1)(b2-1)≥0
【解析】 要证a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明(a2-1)+b2(1-a2)≤0,只要证明(a2-1)(1-b2)≤0,即证(a2-1)(b2-1)≥0.
【答案】 D
4.在不等边三角形中,a为最大边,要想得到A为钝角的结论,三边a,b,c应满足什么条件(  )
A.a2b2+c2	D.a2≤b2+c2
【解析】 由余弦定理得
cos A=<0,
b2+c2-a2<0,
即b2+c2b>c,且a+b+c=0,求证:0	B.a-c>0
C.(a-b)(a-c)>0	D.(a-b)(a-c)<0
【解析】 由题意知0
a2-ab+a2-b2>0a(a-b)+(a+b)(a-b)>0
a(a-b)-c(a-b)>0(a-b)(a-c)>0,故选C.
【答案】 C
二、填空题
6.(2016·烟台高二检测)设A=+,B=(a>0,b>0),则A,B的大小关系为________.
【解析】 A-B=-==≥0,A≥B.
【答案】 A≥B
7.(2016·西安高二检测)如果a>b,则实数a,b应满足的条件是________.
【解析】 要使a>b成立,只需(a)2>(b)2,只需a3>b3>0,即a,b应满足a>b>0.
【答案】 a>b>0
8.如图3­3­7,四棱柱ABCD­A1B1C1D1的侧棱垂直于底面,满足________时,BDA1C.(写出一个条件即可)

图3­3­7
【解析】 要证BDA1C,只需证BD平面AA1C.因为AA1BD,只要再添加条件ACBD,即可证明BD平面AA1C,从而有BDA1C.
【答案】 ACBD(或底面为菱形)
三、解答题
9.设a,b>0,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.
【证明】 法一:分析法
要证a3+b3>a2b+ab2成立,
只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立,
又因a+b>0,
只需证a2-ab+b2>ab成立,
只需证a2-2ab+b2>0成立,
即需证(a-b)2>0成立.
而依题设a≠b,则(a-b)2>0显然成立,
由此命题得证.
法二:综合法
a≠ba-b≠0(a-b)2>0a2-2ab+b2>0a2-ab+b2>ab.
注意到a,b>0,a+b>0,由上式即得
(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b),
a3+b3>a2b+ab2.
10.(2016·深圳高二检测)已知三角形的三边长为a,b,c,其面积为S,求证:a2+b2+c2≥4S.
【证明】 要证a2+b2+c2≥4S,
只要证a2+b2+(a2+b2-2abcos C)≥2absin C,
即证a2+b2≥2absin(C+30°),
因为2absin(C+30°)≤2ab,
只需证a2+b2≥2ab,
显然上式成立,所以a2+b2+c2≥4S.
[能力提升]
1.已知a,b,c,d为正实数,且<,则(  )
A.<(a>0,b>0)
C.-<-(a≥3)
D.+>2
【解析】 对于A,a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac,a2+b2+c2≥ab+bc+ca;
对于B,(+)2=a+b+2,()2=a+b,+>;
对于C,要证-<-(a≥3)成立,只需证明+<+,两边平方得2a-3+2<2a-3+
2,即<,两边平方得a2-3a1+成立的正整数p的最大值是________.
【解析】 由+2>1+,得<+2-1,
即p<(+2-1)2,
所以p<12+4-4-2,
由于12+4-4-2≈12.7,因此使不等式成立的正整数p的最大值是12.
【答案】 12
4.(2016·唐山高二检测)已知a,b,c是不全相等的正数,且0abc.
a,b,c是不全相等的正数,
≥>0,≥>0,≥>0,
··>=abc,
即··>abc成立,
logx+logx+logx
        
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