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【课堂新坐标】2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案:1.6 余弦函数的图像与性质

资料类别: 数学/学案

所属版本: 北师大版

所属地区: 全国

上传时间:2017/1/13

下载次数:164次

资料类型:

文档大小:487KB

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§6 余弦函数的图像与性质6.1 余弦函数的图像
62 余弦函数的性质

1.会利用诱导公式,通过图像平移得到余弦函数的图像.
2.会用五点法画出余弦函数在[0,2π]上的图像.(重点)
3.掌握余弦函数的性质及应用.(重点、难点)


[基础·初探]
教材整理 余弦函数的图像与性质
阅读教材P31~P33“思考交流”以上部分,完成下列问题.
1.利用图像变换作余弦函数的图像
余弦函数y=cos x的图像可以通过将正弦曲线y=sin x向左平移个单位长度得到.如图1-6-1是余弦函数y=cos x(xR)的图像,叫作余弦曲线.

图1-6-1
2.利用五点法作余弦函数的图像
画余弦曲线,通常也使用“五点法”,即在函数y=cos x(x[0,2π])的图像上有五个关键点,为(0,1),,(π,-1),,(2π,1),可利用此五点画出余弦函数y=cos x,xR的简图(如图1-6-2).

图1-6-2
3.余弦函数的性质
图像			定义域	R		值域	[-1,1]		最大值,
最小值	当x=2kπ(kZ)时,ymax=1;
当x=2kπ+π(kZ)时,ymin=-1		周期性	周期函数,T=2π		单调性	在[2kπ-π,2kπ](kZ)上是增加的;
在[2kπ,2kπ+π](kZ)上是减少的		奇偶性	偶函数,图像关于y轴对称		
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)余弦函数y=cos x的定义域为R.(  )
(2)余弦函数y=cos x的图像可由y=sin x的图像向右平移个单位得到.(  )
(3)在同一坐标系内,余弦函数y=cos x与y=sin x的图像形状完全相同,只是位置不同.(  )
(4)正弦函数与余弦函数有相同的周期,最大值、最小值及相同的单调区间.(  )
【解析】 (1)(3)正确;余弦函数y=cos x=sin,即可看作是y=sin x向左平移个单位得到的,因而(2)错;正、余弦函数有相同的周期(都是2π),相同的最大值(都是1),相同的最小值(都是-1),也都有单调区间,但单调区间不同,因而(4)错.
【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)×
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问2:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问3:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
[小组合作型]

	五点法作图		 用“五点法”作函数y=1-cos x(0≤x≤2π)的简图.
【精彩点拨】 利用“五点法”:
列表―→描点―→连线
【自主解答】 列表:
x	0		π		2π		cos x	1	0	-1	0	1		1-cos x	0	1	2	1	0		描点并用光滑的曲线连接起来,如图.


作函数y=acos x+b的图像的步骤
1.列表:由x=0,,π,,2π时,cos x=1,0,-1,0,1,求出y值.
2.描点:在同一坐标系中描五个关键点.
3.连线:用平滑曲线.

[再练一题]
1.作出函数y=1-cos x在[-2π,2π]上的图像.
【解】 列表:
x	0		π		2π		y=cos x	1	0	-1	0	1		y=1-cos x		1		1			作出y=1-cos x在x[0,2π]上的图像.由于该函数为偶函数,作关于y轴对称的图像,从而得出y=1-cos x在x[-2π,2π]上的图像.
如图所示:


	与余弦函数有关的定义域问题		 求下列函数的定义域.
(1)f(x)=;
(2)f(x)=log2(-1+2cos x)+.
【精彩点拨】 写出使得函数有意义时所满足的条件,结合三角函数的定义域,求若干个不等式的交集即可.
【自主解答】 (1)要使y=有意义,则必须满足2cos x+1≥0,即cos x≥-.
结合余弦函数的图像得y=的定义域为.
(2)要使函数有意义,
则即
cos x>的解集为
,
x2≤9的解集为{x|-3≤x≤3},
取交集得.
原函数的定义域为.

1.求三角函数的定义域时,一般要解三角不等式,其主要方法是借助于三角函数的图像,关键有两点:(1)选取一个合适的周期;(2)确定边界值.
2.当函数由几部分构成时,应取使每一部分有意义的x取值范围的公共范围,即取它们的交集.
3.当三角不等式与代数不等式在一起时,在取交集时,应注意对三角不等式解集中的k进行讨论.

[再练一题]
2.求下列函数的定义域.
(1)y=;(2)y=log(2cos x-).
【解】 (1)要使函数有意义,则有-cos x≥0,
cos x≤,可得2kπ+≤x≤2kπ+,kZ.
故所求函数的定义域为
.
(2)要使函数有意义,则有2cos x->0,
cos x>,故所求定义域为
.

	余弦函数的单调性及应用		 (1)函数y=1-2cos x的单调增区间是________;
(2)比较大小cosπ________cos.
【精彩点拨】 (1)y=1-2cos x的单调性与y=-cos x的单调性相同,与y=cos x的单调性相反.
(2)利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较.
【自主解答】 (1)由于y=cos x的单调减区间为[2kπ,2kπ+π](kZ),所以函数y=1-2cos x的增区间为[2kπ,2kπ+π](kZ).
(2)由于cosπ=cos=cos,
cos=cos=cos=cos,
y=cos x在[0,π]上是减少的.
由<知cos>cos,
即cosπ0时,其单调性同y=cos x的单调性一致;
(2)当a<0时,其单调性同y=cos x的单调性恰好相反.
2.比较cos α与cos β的大小时,可利用诱导公式化为[0,π]内的余弦函数值来进行.

[再练一题]
3.(1)比较大小:cos与cos;
(2)求函数y=log(cos 2x)的增区间.
【解】 (1)cos=cos=cos=cos,
cos=cos=cos=cos.
0<<<π,且y=cos x在[0,π]上递减,
cos0且y=cos 2x递减.
x只须满足:2kπ<2x<2kπ+,kZ,
kπ60°,却有cos 60°-2(舍去);
当-1≤≤1,即-2≤a≤2时,当cos x=时,ymax=--.
由--=1,得a=1-或a=1+(舍去);
当>1,即a>2时,当cos x=1时,ymax=-.
由-=1,得a=5.
综上可知,a=1-或a=5.
[构建·体系]

1.函数y=2cos x-1的最大值、最小值分别是(  )
A.2,-2     	B.1,-3
C.1,-1 	D.2,-1
【解析】 -1≤cos x≤1,
-2≤2cos x≤2,
-3≤2cos x-1≤1,
最大值为1,最小值为-3.
【答案】 B
2.函数y=sin x和y=cos x都是减少的区间是(  )
A.(kZ)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
【解析】 结合函数y=sin x和y=cos x的图像知都减少的区间为(kZ).
【答案】 C
3.函数y=的定义域是________. 

【解析】 由题意知1+cos x≠0,即cos x≠-1,结合函数图像知.
【答案】 
4.满足+2cos x≥0(xR)的x的集合是________.
【解析】 +2cos x≥0,
cos x≥-,结合图像(略)知:
-π+2kπ≤x≤+2kπ(kZ).
【答案】 
5.画出y=1-3cos x在[0,2π]上的简图,并指出其最值和单调区间.
【解】 列表:
x	0		π	π	2π		cos x	1	0	-1	0	1		1-3cos x	-2	1	4	1	-2		图像如下:

由图像可知,函数y=1-3cos x在[0,2π]上的最大值为4,最小值为-2,单调增区间为[0,π],减区间为[π,2π].

我还有这些不足:
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案:
(1)______________________________________________________________
(2)____________________________________














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