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【课堂新坐标】2016-2017学年高二数学北师大版选修1-2学案:3.3.1 综合法

资料类别: 数学/学案

所属版本: 北师大版

所属地区: 全国

上传时间:2017/1/13

下载次数:189次

资料类型:

文档大小:455KB

所属点数: 0

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§3 综合法与分析法
3.1 综合法

1.了解综合法的思考过程、特点.(重点)
2.会用综合法证明数学问题.(难点)


[基础·初探]
教材整理 综合法
阅读教材P60~P61“练习”以上部分,完成下列问题.
1.综合法的定义
从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明,这种思维方法称为综合法.
2.综合法证明的思维过程
用P表示已知条件、已知的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论,则综合法的思维过程可用框图3­3­1表示为:
→→→…→
图3­3­1

 判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)综合法是由因导果的顺推证法.(  )
(2)综合法证明的依据是三段论.(  )
(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件.(  )
【解析】 (1)正确.由综合法的定义可知该说法正确.
(2)正确.综合法的逻辑依据是三段论.
(3)正确.综合法从“已知”看“可知”,逐步推出“未知”,其逐步推理实际上是寻找它的必要条件.
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:________________________________________________________
解惑:__________________________________________________________
疑问2:________________________________________________________
解惑:__________________________________________________________
疑问3:________________________________________________________
解惑:__________________________________________________________

[小组合作型]
用综合法证明三角问题 在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.
(1)求证:A的大小为60°;
(2)若sin B+sin C=.证明:ABC为等边三角形.
【精彩点拨】 (1)利用正弦定理将角与边互化,然后利用余弦定理求A.
(2)结合(1)中A的大小利用三角恒等变形证明A=B=C=60°.
【自主解答】 (1)由2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)·sin C,
得2a2=(2b-c)·b+(2c-b)c,
即bc=b2+c2-a2,
所以cos A==,
所以A=60°.
(2)由A+B+C=180°,得B+C=120°,
由sin B+sin C=,得sin B+sin(120°-B)=,
sin B+(sin 120°cos B-cos 120°sin B)=,
sin B+cos B=,
即sin(B+30°)=1.
因为0°0,y>0,x+y=1,求证:≥9.
【精彩点拨】 解答本题可由已知条件出发,结合基本不等式利用综合法证明.
【自主解答】 法一:因为x>0,y>0,1=x+y≥2,
所以xy≤.
所以=1+++
=1++=1+≥1+8=9.
法二:因为1=x+y,
所以=
==5+2.
又因为x>0,y>0,所以+≥2,当且仅当x=y时,取“=”.
所以≥5+2×2=9.

综合法的证明步骤:
(1)分析条件,选择方向:确定已知条件和结论间的联系,合理选择相关定义、定理等.
(2)转化条件,组织过程:将条件合理转化,写出严密的证明过程.
特别地,根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程.

[再练一题]
3.将上例条件不变,求证:+≥4.
【证明】 法一:因为x,y(0,+∞),且x+y=1,
所以x+y≥2,当且仅当x=y时,取“=”,
所以≤,即xy≤,
所以+==≥4.
法二:因为x,y(0,+∞),
所以x+y≥2>0,当且仅当x=y时,取“=”,
+≥2>0,
当且仅当=时,取“=”,
所以(x+y)≥4.
又x+y=1,所以+≥4.
法三:因为x,y(0,+∞),所以+=+
=1+++1≥2+2 =4,
当且仅当x=y时,取“=”.
[构建·体系]

1.已知等差数列{an}中,a5+a11=16,a4=1,则a12的值是(  )
A.15 	B.30   C.31   D.64
【解析】 {an}为等差数列,
a5+a11=a4+a12.
又a5+a11=16,a4=1,a12=15.
【答案】 A
2.已知直线l,m,平面α,β,且lα,mβ,给出下列四个命题:若αβ,则lm;若lm,则αβ;若αβ,则lm;若lm,则αβ.
其中正确的命题的个数是(  )
A.1	B.2  C.3	D.4
【解析】 若lα,αβ,则lβ,又mβ,所以lm,正确;
若lα,mβ,lm,α与β可能相交,不正确;
若lα,mβ,αβ,l与m可能平行,不正确;
若lα,lm,则mα,又mβ,所以αβ,正确.
【答案】 B
3.若a,b,c是常数,则“a>0且b2-4ac<0”是“ax2+bx+c>0对任意xR恒成立”的(  )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】 因为a>0且b2-4ac<0ax2+bx+c>0对任意xR恒成立.反之,ax2+bx+c>0对任意xR恒成立不能推出a>0且b2-4ac<0,反例为:当a=b=0且c>0时也有ax2+bx+c>0对任意xR恒成立,
所以“a>0且b2-4ac<0”是“ax2+bx+c>0对任意实数xR恒成立”的充分不必要条件.
【答案】 A
4.已知p=a+(a>2),q=2-a2+4a-2(a>2),则p与q的大小关系是________.
【解析】 p=a-2++2≥2+2=4,
-a2+4a-2=2-(a-2)2<2,q<22=4≤p.
【答案】 p>q
5.(2016·济南高二检测)数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3,…).求证:
(1)数列为等比数列;
(2)Sn+1=4an.
【证明】 (1)an+1=Sn,而an+1=Sn+1-Sn,
Sn=Sn+1-Sn,
Sn+1=Sn,
=2,
又a1=1,
S1=1,=1,
数列是首项为1,公比为2的等比数列.
(2)由(1)知的公比为2,而an=Sn-1(n≥2),
=4
=·,
Sn+1=4an.

我还有这些不足:
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案:
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________

学业分层测评(九)
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知a,b为非零实数,则使不等式+≤-2成立的一个充分不必要条件是(  )
A.a·b>0     	B.a·b<0
C.a>0,b<0	D.a>0,b>0
【解析】 +≤-2,≤-2.
a2+b2>0,
ab<0,则a,b异号,故选C.
【答案】 C
2.平面内有四边形ABCD和点O,+=+,则四边形ABCD为(  )
A.菱形	B.梯形
C.矩形	D.平行四边形
【解析】 +=+,
-=-,
=,
四边形ABCD为平行四边形.
【答案】 D
3.若实数a,b满足02,
2ab<.
而a2+b2>=.
又0B是sin A>sin B的(  )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】 若A>B,则a>b,
又=,sin A>sin B;
若sin A>sin B,则由正弦定理得a>b,
A>B.
【答案】 C
5.若m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是(  )
A.若mβ,αβ,则mα
B.若α∩γ=m,β∩γ=n,mn,则αβ
C.若mβ,mα,则αβ
D.若αγ,αβ,则βγ
【解析】 对于A,m与α不一定垂直,所以A不正确;对于B,α与β可以为相交平面;对于C,由面面垂直的判定定理可判断αβ;对于D,β与γ不一定垂直.
【答案】 C
二、填空题
6.设e1,e2是两个不共线的向量,=2e1+ke2,=e1+3e2,若A,B,C三点共线,则k=________.
【解析】 若A,B,C三点共线,则=λ,即2e1+ke2=λ(e1+3e2)=λe1+3λe2,
∴
【答案】 6
7.设a=,b=-,c=-,则a,b,c的大小关系为________.
【解析】 a2-c2=2-(8-4)=->0,a>c.
又==>1,c>b,a>c>b.
【答案】 a>c>b
8.已知三个不等式:ab>0;>;bc>ad.以其中两个作为条件,余下一个作为结论,则可以组成________个正确的命题.
【解析】 对不等式作等价变形:>>0.于是,若ab>0,bc>ad,则>0,故.若ab>0,>0,则bc>ad,故.若bc>ad,>0,则ab>0,故.因此可组成3个正确的命题.
【答案】 3
三、解答题
9.如图3­3­4,四棱锥P­ABCD的底面是平行四边形,E,F分别为AB,CD的中点,求证:AF平面PEC.

图3­3­4
【证明】 四棱锥P­ABCD的底面是平行四边形,
ABCD.
又E,F分别为AB,CD的中点,
CFAE,
四边形AECF为平行四边形,
AF∥EC.
又AF平面PEC,EC平面PEC,
AF∥平面PEC.
10.(2016·临沂高二检测)在ABC中,三个内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列,a,b,c也成等差数列.求证:ABC为等边三角形. 
【证明】 由A,B,C成等差数列知,B=,由余弦定理知b2=a2+c2-ac,
又a,b,c也成等差数列,b=,
代入上式得=a2+c2-ac,
整理得3(a-c)2=0,a=c,从而A=C,
而B=,则A=B=C=,
从而ABC为等边三角形.
[能力提升]
1.设x,yR,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=2,则+的最大值为(  )
A.2  B.
C.1	D.
【解析】 ax=by=3,x=loga3,y=logb3,
+=log3(ab)≤log32=1.故选C.
【答案】 C
2.(2016·西安高二检测)在ABC中,tan A·tan B>1,则ABC是(  )
A.锐角三角形	B.直角三角形
C.钝角三角形	D.不确定
【解析】 因为tan A·tan B>1,
所以A,B只能都是锐角,
所以tan A>0,tan B>0,1-tan A·tan B<0,
所以tan(A+B)=<0,
所以A+B是钝角,即C为锐角.
【答案】 A
3.若02,a2+b2>2ab.
又a>a2,b>b2,
知a+b>a2+b2,从而a+b最大.
【答案】 a+b
4.(2016·泰安高二检测)如图3­3­5所示,M是抛物线y2=x上的一点,动弦ME,MF分别交x轴于A,B两点,且MA=MB.若M为定点,求证:直线EF的斜率为定值.

图3­3­5
【证明】 设M(y,y0),直线ME的斜率为k(k>0),
MA=MB,MAB=MBA,
直线MF的斜率为-k,
直线ME的方程为y-y0=k(x-y).
由消去x得ky2-y+y0(1-ky0)=0,
解得yE=,xE=.
同理可得yF=,xF=.
kEF===
=-(定值).
直线EF的斜率为定值.













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