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【课堂新坐标】2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案:1.5 正弦函数的图像与性质

资料类别: 数学/学案

所属版本: 北师大版

所属地区: 全国

上传时间:2017/1/13

下载次数:209次

资料类型:

文档大小:568KB

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§5 正弦函数的图像与性质
51 正弦函数的图像
52 正弦函数的性质

1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.(重点)
2.掌握“五点法”画正弦曲线的方法和步骤,能用“五点法”作出简单的正弦曲线.(难点)
3.能用正弦函数的图像理解和记忆正弦函数的性质.(重点、难点)


[基础·初探]
教材整理1 “五点法”作正弦函数的图像
阅读教材P25~P27“例1”以上部分,完成下列问题.
在函数y=sin x,x[0,2π]的图像上,起着关键作用的有五个关键点:(0,0),,(π,0),,(2π,0).描出这五个点后,函数y=sin x,x[0,2π]的图像就基本上确定了.因此,在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑曲线顺次将它们连接起来,就得到这个函数的简图.我们称这种画正弦函数曲线的方法为“五点法”.如图1-5-1.
图1-5-1

判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=sin x在[0,2π]和[4π,6π]上的图像形状相同,只是位置不同.(  )
(2)函数y=sin x的图像介于直线y=-1和y=1之间.(  )
(3)函数y=sin x的图像关于x轴对称.(  )
(4)函数y=sin x的图像与y轴只有一个交点.(  )
【解析】 由函数y=sin x的图像可知,y=sin x的图像不关于x轴对称,与y轴只有一个交点,且图像介于直线y=-1和y=1之间,在[0,2π]和[4π,6π]上的图像形状相同,而位置不同.
【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
教材整理2 正弦函数的性质
阅读教材P28~P29“例2”以上部分,完成下列问题.

性质	定义域	 R 			值域	[-1,1]			最大值与最小值	当x=2kπ+(kZ)时,ymax=1;
当x=2kπ+(kZ)时,ymin=-1			周期性	周期函数,T=2π			单调性	在(kZ)上是增加的;
在(kZ)上是减少的			奇偶性	奇函数			对称性	图像关于原点对称,对称中心(kπ,0),kZ;对称轴x=kπ+,kZ		
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正弦函数y=sin x的定义域为R.(  )
(2)正弦函数y=sin x是单调增函数.(  )
(3)正弦函数y=sin x是周期函数.(  )
(4)正弦函数y=sin x的最大值为1,最小值是-1.(  )
【解析】 由正弦函数性质知,(1)(3)(4)均正确,对于(2),正弦函数在(kZ)上是单调增函数,在R上不具有单调性.
【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问2:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问3:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
[小组合作型]
	五点法作图		 用“五点法”画出函数y=3-sin x(x[0,2π])的图像.
【精彩点拨】 借助于五点作图法按下列次序完成:
列表―→描点―→连线成图
【自主解答】 (1)列表,如下表所示:

x	0		π		2π		y=sin x	0	1	0	-1	0		y=3-sin x	3	2	3	4	3		(2)描点,连线,如图所示:


1.解答本题的关键是要抓住五个关键点.使函数中x取0,,π,,2π,然后相应求出y值,再作出图像.
2.五点法作图是画三角函数的简图的常用方法,作图过程中要注重整体代换思想的运用,特别是在取值、描点上,这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点,连线要保持平滑,注意凸凹方向.

[再练一题]
1.作出函数y=-1+2sin x,x[0,2π]的简图.
【解】 按五个关键点列表:
x	0		π		2π		sin x	0	1	0	-1	0		-1+2sin x	-1	1	-1	-3	-1		利用正弦函数的性质描点连线作图,如图:

	与正弦函数有关的定义域问题		 求下列函数的定义域.
(1)y=;
(2)y=.
【精彩点拨】 先根据条件,求出sin x的取值范围,再借助于单位圆或正弦线或正弦函数的图像解决.
【自主解答】 (1)为使函数有意义,需满足1-2sin2x≥0,
即sin2 x≤,
解得-≤sin x≤,
结合单位圆可知,-+2kπ≤x≤+2kπ或+2kπ≤x≤+2kπ(kZ).
原函数的定义域为
(k∈Z).
(2)为使函数有意义,需满足
即正弦函数和单位圆如图所示:


定义域为
.

1.求函数的定义域通常是解不等式组,利用“数形结合”,借助于数轴画线求交集的方法进行.在求解三角函数,特别是综合性较强的三角函数的定义域时,我们同样可以利用“数形结合”,在单位圆中画三角函数线,求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成.
2.求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质,如在转化为不等式或不等式组后,要注意三角函数的符号及单调性,在进行三角函数的变形时,要注意三角函数的每一步变形都要保持恒等,即不能改变原函数的自变量的取值范围.

[再练一题]
2.求函数y=的定义域. 

【解】 要使函数有意义,只需2 sin x+≥0.
即sin x≥-,如图所示,在区间上,适合条件的x的取值范围是-≤x≤.

所以该函数的定义域是(kZ).

	正弦函数的周期性与奇偶性		 求下列函数的周期,并判断其奇偶性.
(1)y=sin(xR);
(2)y=|sin x|(xR).
【精彩点拨】 (1)利用代换z=2x+,将求原来函数的周期转化为求y=sin z的周期求解,或利用公式求解.
(2)作出函数图像观察求解.
【自主解答】 (1)法一:令z=2x+,
x∈R,z∈R,函数y=sin z的最小正周期是2π,就是说变量z只要且至少要增加到z+2π,函数y=sin z(zR)的值才能重复取得,而z+2π=2x++2π=2(x+π)+,所以自变量x只要且至少要增加到x+π,函数值才能重复取得,从而函数f(x)=sin(xR)的周期是π.
法二:f(x)=sin中,ω=2,
T==π.
又sin≠sin,
且sin≠-sin,
y=sin是非奇非偶函数.
(2)作出y=|sin x|的图像如图:

由图像可知,y=|sin x|的周期为π.
其图像关于y轴对称,y=|sin x|是偶函数.

1.利用周期函数的定义求三角函数的周期,关键是抓住变量“x”增加到“x+T”,函数值重复出现,T是函数的一个周期这一理论依据.
2.常见三角函数周期的求法
(1)对于形如函数y=Asin(ωx+φ),ω≠0的周期求法,通常用定义T=来求解;
(2)对于形如y=|Asin ωx|的周期情况,常结合图像法来解决.

[再练一题]
3.求下列函数的周期,并判断其奇偶性.
(1)f(x)=2sin;
(2)f(x)=|sin 2x|.
【解】 (1)在f(x)=2sin中,
ω=,T==4π.
又f(-x)≠-f(x),且f(-x)≠f(x),
f(x)=2sin是非奇非偶函数.
(2)作出f(x)=|sin 2x|的图像如图:

由图知,y=|sin 2x|的周期为,又其图像关于y轴对称,因而是偶函数.

	正弦函数的单调性		 (1)比较下列各组三角函数值的大小.
sin 与sin;
sin 1,sin 2,sin 3,sin 4(由大到小排列).
(2)求函数y=sin的单调递增区间.
【精彩点拨】 (1)将所给角通过诱导公式化到同一单调区间内,然后利用y=sin x的单调性比较大小.
(2)将视为z,利用y=sin z的单调性求解.
【自主解答】 (1)sin=-sin,
sin=-sin,sin>sin,
所以sinsin 1>sin(π-3)>0,即sin 2>sin 1>sin 3>sin 4.
(2)y=sin=-sin.
由2kπ+≤x-≤2kπ+π,kZ,得
2kπ+π≤x≤2kπ+π,kZ.
所以原函数的单调递增区间为,kZ.

1.比较sin α与sin β的大小时,可利用诱导公式,把sin α与sin β转化为同一单调区间上的正弦值,再借助于正弦函数的单调性来进行比较.
2.比较sin α与cos β的大小,常把cos β转化为sin后,再依据单调性进行比较.
3.当不能将两角转到同一单调区间上时,还可以借助于图像或值的符号比较.
4.在求形如y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间时,应采用“换元法”整体代换,将“ωx+φ”看作一个整体“z”,即通过求y=A sin z的单调区间求原函数的单调区间.

[再练一题]
4.比较sinπ与sin的大小.
【解】 sin=sin=sin,
sin=sin=sin.
∵0<<<.又y=sin x在上单调递增.
sin-sin  70°,
即sin  2 016°>cos  160°.
(2)cos=sin,
又<<+<,
y=sin x在上是减少的,
sin>sin=cos,
即sin>cos.

我还有这些不足:
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案:
(1)______________________________________________________________
(2)____________________________________














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