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【课堂新坐标】2016-2017学年高二数学北师大版选修1-2学案:3.2 数学证明

资料类别: 数学/学案

所属版本: 北师大版

所属地区: 全国

上传时间:2017/1/13

下载次数:196次

资料类型:

文档大小:368KB

所属点数: 0

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§2 数学证明

1.理解演绎推理的概念.(重点)
2.掌握演绎推理的基本模式,并能用它们进行一些简单的推理.(重点)
3.能用“三段论”证明简单的数学问题.(难点)


[基础·初探]
教材整理 数学证明
阅读教材P58~P59“例2”以上部分,完成下列问题.
1.证明
(1)证明命题的依据:命题的条件和已知的定义、公理、定理.
(2)证明的方法:演绎推理.
2.演绎推理的主要形式
演绎推理的一种形式:三段论,其推理形式如下:
(1)大前提:提供了一个一般性道理.
(2)小前提:研究对象的特殊情况.
(3)结论:根据大前提和小前提作出的判断.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)“三段论”就是演绎推理.(  )
(2)演绎推理的结论是一定正确的.(  )
(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.(  )
【答案】 (1)× (2)× (3)×
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:________________________________________________________
解惑:__________________________________________________________
疑问2:________________________________________________________
解惑:__________________________________________________________
疑问3:________________________________________________________
解惑:__________________________________________________________

[小组合作型]
把演绎推理写成三段论的形式 将下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)一切奇数都不能被2整除,75不能被2整除,所以75是奇数;
(2)三角形的内角和为180°,RtABC的内角和为180°;
(3)通项公式为an=3n+2(n≥2)的数列{an}为等差数列.
【精彩点拨】 三段论推理是演绎推理的主要模式,推理形式为“如果bc,ab,则ac.”其中,bc为大前提,提供了已知的一般性原理;ab为小前提,提供了一个特殊情况;ac为大前提和小前提联合产生的逻辑结果.
【自主解答】 (1)一切奇数都不能被2整除.(大前提)
75不能被2整除.(小前提)
75是奇数.(结论)
(2)三角形的内角和为180°.(大前提)
RtABC是三角形.(小前提)
RtABC的内角和为180°.(结论)
(3)数列{an}中,如果当n≥2时,an-an-1为常数,则{an}为等差数列.(大前提)
通项公式an=3n+2,n≥2时,
an-an-1=3n+2-[3(n-1)+2]=3(常数).(小前提)
通项公式为an=3n+2(n≥2)的数列{an}为等差数列.(结论)

把演绎推理写成“三段论”的一般方法:
(1)用“三段论”写推理过程时,关键是明确大、小前提,三段论中大前提提供了一个一般性原理,小前提提供了一种特殊情况,两个命题结合起来,揭示一般性原理与特殊情况的内在联系.
(2)在寻找大前提时,要保证推理的正确性,可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提.

[再练一题]
1.将下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分;
(2)等腰三角形的两底角相等,A,B是等腰三角形的两底角,则A=B.
【解析】 (1)平行四边形的对角线互相平分,(大前提)
菱形是平行四边形,(小前提)
菱形的对角线互相平分.(结论)
(2)等腰三角形的两底角相等,(大前提)
A,B是等腰三角形的两底角,(小前提)
A=B.(结论)
演绎推理在几何中的应用
 如图3­2­1所示,D,E,F分别是BC,CA,AB边上的点,BFD=A,DEBA,求证:DE=AF.写出“三段论”形式的演绎推理.
图3­2­1
【精彩点拨】 用三段论的模式依次证明:(1)DFAE,(2)四边形AEDF为平行四边形,(3)DE=AF.
【自主解答】 (1)同位角相等,两直线平行,(大前提)
BFD和A是同位角,且BFD=A,(小前提)
所以DFAE.(结论)
(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)
DEBA且DFEA,(小前提)
所以四边形AFDE为平行四边形.(结论)
(3)平行四边形的对边相等,(大前提)
DE和AF为平行四边形的对边,(小前提)
所以DE=AF.(结论)

1.用“三段论”证明命题的步骤
(1)理清楚证明命题的一般思路;
(2)找出每一个结论得出的原因;
(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来.
2.几何证明问题中,每一步都包含着一般性原理,都可以分析出大前提和小前提,将一般性原理应用于特殊情况,就能得出相应结论.

[再练一题]
2.证明:如果梯形的两腰和一底相等,那么它的对角线必平分另一底上的两个角.

【解】 已知在梯形ABCD中(如图所示),AB=DC=AD,AC和BD是它的对角线,求证:CA平分BCD,BD平分CBA.
证明:等腰三角形的两底角相等,(大前提)
DAC是等腰三角形,DC=DA,(小前提)
1=2.(结论)
两条平行线被第三条直线所截,内错角相等,(大前提)
1和3是平行线AD,BC被AC 所截的内错角,(小前提)
1=3.(结论)
等于同一个量的两个量相等,(大前提)
2,3都等于1,(小前提)
2和3相等.(结论)
即CA平分BCD.
④同理BD平分CBA.
[探究共研型]
演绎推理在代数中的应用探究1 演绎推理的结论一定正确吗?
【提示】 演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围,所以在演绎推理中,只要前提和推理形式正确,其结论一定正确.
探究2 因为对数函数y=logax(a>0,a≠1)是增函数,而y=x是对数函数,所以y=x是增函数.
上面的推理形式和结论正确吗?
【提示】 推理形式正确,结论不正确.因为大前提是错误的.
 已知a,b,m均为正实数,b0,(小前提)
所以mb0,(小前提)
所以<,即<.(结论)

代数问题中常见的利用三段论证明的命题:
(1)函数类问题:比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等.
(2)导数的应用:利用导数研究函数的单调区间,求函数的极值和最值,证明与函数有关的不等式等.
(3)三角函数的图像与性质.
(4)数列的通项公式、递推公式以及求和,数列的性质.
(5)不等式的证明.

[再练一题]
3.当a,b为正实数时,求证:≥.
【解】 因为一个实数的平方是非负实数,(大前提)
而-=2是一个实数的平方,(小前提)
所以-是非负实数,即-≥0.
所以≥.(结论)
[构建·体系]
1.下面几种推理过程是演绎推理的是(  )
A.两条直线平行,同旁内角互补,如果A与B是两条平行直线的同旁内角,则A+B=180°
B.某校高三(1)班有55人,(2)班有54人,(3)班有52人,由此得出高三所有班级中的人数都超过50人
C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质
D.在数列{an}中,a1=1,an=(n≥2),通过计算a2,a3,a4猜想出an的通项公式
【解析】 A是演绎推理,B,D是归纳推理,C是类比推理.
【答案】 A
2.用三段论证明命题:“任何实数的平方大于0,因为a是实数,所以a2>0”,你认为这个推理(  )
A.大前提错误 	B.小前提错误
C.推理形式错误	D.是正确的
【解析】 这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”,小前提是“a是实数”,结论是“a2>0”.显然结论错误,原因是大前提错误.
【答案】 A
3.函数y=2x+5的图像是一条直线,用三段论表示为:
大前提:________________________________________________________;
小前提:________________________________________________________;结论:___________________________________________________________.
【答案】 一次函数的图像是一条直线
函数y=2x+5是一次函数
函数y=2x+5的图像是一条直线
4.如图3­2­2所示,因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=CD,BC=AD.
图3­2­2
又因为△ABC和△CDA的三边对应相等,所以△ABC△CDA.
上述推理的两个步骤中分别省略了 ________、________.
【答案】 大前提 大前提
5.用三段论的形式写出下列演绎推理.
(1)矩形的对角线相等,正方形是矩形,所以正方形的对角线相等;
(2)0.是有理数.
【解】 (1)因为矩形的对角线相等,(大前提)
而正方形是矩形,(小前提)
所以正方形的对角线相等.(结论)
(3)所有的循环小数都是有理数,(大前提)
0.是循环小数,(小前提)
所以,0.是有理数.(结论)

我还有这些不足:
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案:
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________

学业分层测评(八)
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.给出下面一段演绎推理:
有理数是真分数,(大前提)
整数是有理数,(小前提)
整数是真分数.(结论)
结论显然是错误的,是因为(  )
A.大前提错误   	B.小前提错误
C.推理形式错误	D.非以上错误
【解析】 举反例,如2是有理数,但不是真分数,故大前提错误.
【答案】 A
2.已知在ABC中,A=30°,B=60°,求证:BC0,不等式(x-a)(x+a)<1对任意实数x都成立,
Δ=1-4×(-a2+a+1)<0,
解得-
        
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