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【课堂新坐标】2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案:1.4.3+4.4 单位圆的对称性与诱导公式

资料类别: 数学/学案

所属版本: 北师大版

所属地区: 全国

上传时间:2017/1/13

下载次数:180次

资料类型:

文档大小:460KB

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4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
44 单位圆的对称性与诱导公式

1.了解正弦函数、余弦函数的基本性质.
2.会借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式.(难点)
3.掌握诱导公式及其应用.(重点)


[基础·初探]
教材整理1 正弦函数、余弦函数的基本性质
阅读教材P18~P19“思考交流”以上部分,完成下列问题.
正弦函数、余弦函数的基本性质
函数	y=sin x	y=cos x		基本性质	定义域	R			值域	[-1,1]			最大
(小)值	当x=2kπ+(kZ)时,函数取得最大值1;
当x=2kπ-(kZ)时,函数取得最小值-1	当x=2kπ(kZ)时,函数取得最大值1;
当x=(2k+1)π(kZ)时,函数取得最小值-1		基本性质	周期性	周期是2kπ(kZ),最小正周期为2π			单调性	在区间(kZ)上是增加的,在区间(kZ)上是减少的	在区间[2kπ-π,2kπ](kZ)上是增加的,在区间[2kπ,2kπ+π](kZ)上是减少的		
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)y=sin x在[-π,π]上是增加的.(  )
(2)y=sin x在上的最大值为1.(  )
(3)y=cos x在上的最小值为-1.(  )
【解析】 (1)y=sin x在[-π,π]上不具有单调性,故(1)错误.
(2)y=sin x在上是增加的,在上是减少的,y max=sin=1,故(2)正确.
(3)y=cos x在上是减少的,故y min=cos =0,故(3)错误.
【答案】 (1)× (2)√ (3)×
教材整理2 诱导公式(-α,π±α)的推导
阅读教材P19~P21,完成下列问题.
1.诱导公式(-α,π±α)的推导
(1)在直角坐标系中
α与-α角的终边关于x轴对称;
α与π+α的终边关于原点对称;
α与π-α的终边关于y轴对称.
(2)公式
sin(-α)=-sin_α,cos(-α)=cos_α;
sin(π+α)=-sin_α,cos(π+α)=-cos_α;
sin(π-α)=sin_α,cos(π-α)=-cos_α.
2.诱导公式的推导
(1)-α的终边与α的终边关于直线y=x对称.
(2)公式
sin=cos_α,cos=sin_α
用-α代替α↓并用前面公式
sin=cos_α,cos=-sin α

判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)cos(2π-α)=cos α.(  )
(2)sin(2π-α)=sin α.(  )
(3)诱导公式中的角α只能是锐角.(  )
【解析】 (1)正确.cos(2π-α)=cos(-α)=cos α.
(2)错误.sin(2π-α)=sin(-α)=-sin α.
(3)错误.诱导公式中角α不仅可以是锐角,还可以是任意角.
【答案】 (1)√ (2)× (3)×
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问2:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问3:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________ 
[小组合作型]
	正弦、余弦函数的性质		 求下列函数的单调区间、最大值和最小值以及取得最大值和最小值的自变量x的值.
(1)y=sin x,x;
(1)y=cos x,x.
【精彩点拨】 画出单位圆,借助图形求解.
【自主解答】 (1)由图可知,y=sin x在上是增加的,在上是减少的.且当x=时,y=sin x取最大值1,当x=-时,y=sin x取最小值-.
①
(2)由图可知,y=cos x在[-π,0]上是增加的,在上是减少的.且当x=-π时取最小值-1,当x=0时,取最大值1.
②

利用单位圆研究三角函数性质的方法
第一步:在单位圆中画出角x的取值范围;
第二步:作出角的终边与单位圆的交点P(cos x,sin x);
第三步:研究P点横坐标及纵坐标随x的变化而变化的规律;
第四步:得出结论.

[再练一题]
1.求下列函数的单调区间和值域,并说明取得最大值和最小值时的自变量x的值. 

(1)y=-sin x,x;(2)y=cos x,x[-π,π].
【解】 (1)y=-sin x,x的单调递减区间为,单调递增区间为.
当x=时,ymin=-1;当x=π时,ymax=0,故函数y=-sin x的值域为.
(2)y=cos x,x[-π,π]的单调递减区间为[0,π],单调递增区间为[-π,0].
当x=0时,ymax=1;当x=-π或π时,ymin=-1,故函数y=cos x,x[-π,π]的值域为[-1,1].

	给角求值		 求下列三角函数值.
(1)sin·cos·sin;
(2)sin.
【精彩点拨】 利用诱导公式将所给的角化成锐角求解.
【自主解答】 (1)sin·cos·sin
=sin·cos·sin
=-sin·cos·
=··
=·=.
(2)sin=sin
=sin=sin=.


利用诱导公式,把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤为:
可简记为:负化正,大化小,化成锐角再求值.

[再练一题]
2.求下列各式的值.
(1)sin 495°·cos(-675°);
(2)sin·cos(n∈Z).
【解】 (1)sin 495°·cos(-675°)
=sin(360°+135°)·cos(360°+315°)
=sin 135°·cos 315°
=sin(180°-45°)cos(360°-45°)
=sin 45°·cos 45°=×=.
(2)当n为奇数时,
原式=sin π·=sin·

=sin ·cos =×=;
当n为偶数时,
原式=sin πcos π=sin·cos
=sin ·=×=-.

	给值求值		 已知cos=,求cos·sin.
【精彩点拨】 解答本题要注意到+=π,-α=π-,+=等角之间的关系,恰当运用诱导公式求值.
【自主解答】 +=,
sin=sin
=cos=.
sin=sin
=sin=.
+=π,
cos=cos
=-cos=-,
cossin=-×=-.

1.观察已知角与未知角之间的关系,运用诱导公式将不同名的函数化为同名的函数,将不同的角化为相同的角,是解决问题的关键.
2.对于有条件的三角函数求值题,求解的一般基本方法是从角的关系上寻求突破,找到所求角与已知角之间的关系,结合诱导公式,进而把待求式转化到已知式而完成求值.

[再练一题]
3.已知sin=,求cos的值.
【解】 π-α=3π+,
cos=cos
=-cos.
又+=,
cos=-cos
=-sin=-.
[探究共研型]

	三角函数式的化简		探究1 三角函数式本着怎样的思路化简?
【提示】 总体思路是利用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数.
探究2 怎样处理含有kπ±α的角?
【提示】 含有kπ±α形式的角的三角函数化简时,需对k分是奇数还是偶数讨论确认选用的公式.
 化简下列各式.
(1);
(2)cos+cos(nZ).
【精彩点拨】 (1)直接利用诱导公式化简.
(2)对n是奇数或偶数进行讨论.
【自主解答】 (1)原式==-1.
(2)+=2nπ,
原式=cos+cos
=2cos=2cos.
当n为奇数时,即n=2k+1(kZ)时,原式
=2cos=-2cos;
当n为偶数时,即n=2k(kZ)时,
原式=2 cos
=2 cos.
故原式=

三角函数的化简,尽量化为2kπ±α的形式,否则:
(1)形如kπ±α时,应对k进行奇数和偶数两种情形讨论;
(2)形如π±α时,应分k=3n,k=3n+1,k=3n+2(nZ)三种情形讨论.

[再练一题]
4.化简:cos+cos,其中kZ.
【解】 cos+cos=cos+cos.
当k=2n+1,nZ时,
原式=cos+cos
=cos+cos
=-cos-cos
=-2cos;
当k=2n,nZ时,
原式=cos+cos
=cos+cos
=cos+cos
=2cos.
综上可知,原式=
[构建·体系]

1.当αR时,下列各式恒成立的是(  )
A.sin=-cos α
B.sin(π-α)=-sin α
C.cos(π+α)=cos α
D.cos(-α)=cos α
【解析】 由诱导公式知D正确.
【答案】 D
2.cos的值是(  ) 

A.-    	B.
C. 	D.-
【解析】 cos=-cos=-cos=-.
【答案】 D
3.y=sin x,x的单调增区间为________,单调减区间为_______.
【解析】 在单位圆中,当x由-π到时,sin x由0减小到-1,再由-1增大到.所以它的单调增区间为,单调减区间为.
【答案】  
4.已知cos(π+α)=-,则sin=________.
【解析】 cos(π+α)=-cos α=-,cos α=.
又sin=cos α=.
【答案】 
5.计算:sin·cos·sin.
【解】 原式=sin·cos·sin
=sin·cos·sin
=sin··
=··
=.

我还有这些不足:
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案:
(1)______________________________________________________________
(2)____________________________________














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