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【课堂新坐标】2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案:1.4.1+4.2 单位圆与周期性

资料类别: 数学/学案

所属版本: 北师大版

所属地区: 全国

上传时间:2017/1/13

下载次数:208次

资料类型:

文档大小:385KB

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§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
41 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
42 单位圆与周期性

1.理解任意角的正弦、余弦的定义及其应用.(重点)
2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系.(重点)
3.理解周期函数的定义.(难点)


[基础·初探]
教材整理1 正、余弦函数
阅读教材P13~P15“例1”以上部分,完成下列问题.
任意角的正弦、余弦函数的定义
(1)单位圆的定义
在直角坐标系中,以原点为圆心,以单位长为半径的圆,称为单位圆.
(2)如图1-4-1所示,设α是任意角,其顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆O交于点P(u,v),那么:
图1-4-1
	正弦函数	余弦函数		定义	点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数,记作v=sin_α	点P的横坐标u定义为角α的余弦函数,记作u=cos_α		通常表示法	y=sin x定义域为全体实数,值域为[-1,1]	y=cos x定义域为全体实数,值域为[-1,1]		在各象限的符号				
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正弦函数、余弦函数的自变量都是角.(  )
(2)正弦函数、余弦函数的角度通常用弧度制,而不用角度制.(  )
(3)角α确定,则角α的正弦、余弦函数值与点P在终边上的位置无关.(  )
(4)若sin α<0,则α为第三或第四象限角.(  )
【解析】 根据三角函数的定义,知(1)正确,(3)正确;尽管在正弦函数、余弦函数的定义中,角α的值既可以用角度制,又可以用弧度制来表示,若用角度制表示时,如30°+sin 30°就无法进行运算,改用弧度制时,+sin就可以运算了,即自变量的单位与函数值的单位都用十进制数统一了,因而(2)正确;若sin α<0,α的终边也可能落在y轴的负半轴上,因而(4)错.
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
教材整理2 周期函数
阅读教材P16~P17练习以上部分,完成下列问题.
1.终边相同的角的正弦、余弦函数值的关系.
(1)终边相同的角的正弦函数值相等,即
sin(x+k·2π)=sin_x(kZ).
(2)终边相同的角的余弦函数值相等,即
cos(x+k·2π)=cos_x(kZ).
2.一般地,对于函数f(x),如果存在非零实数T,对定义域内的任意一个x值,都有f(x+T)=f(x),则称f(x)为周期函数,T称为这个函数的周期.
3.特别地,正弦函数、余弦函数是周期函数,称2kπ(kZ,k≠0)是正弦函数、余弦函数的周期,其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个,称为最小正周期.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)2kπ(kZ)是正弦、余弦函数的周期.(  )
(2)f(x)=x2满足f(-3+6)=f(-3),故f(x)=x2为周期函数.(  )
(3)对正弦函数f(x)=sin x有f=f,所以是f(x)的周期.(  )
【解析】 (1)错误.kZ且k≠0时,2kπ是正弦、余弦函数的周期.
(2)错误.因为f(-2+6)≠f(-2).
(3)错误.f≠f(π)不满足任意性.
【答案】 (1)× (2)× (3)×
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问2:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问3:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
[小组合作型]

	正弦、余弦函数的定义		 已知θ的终边经过点P(a,a),a≠0,求sin  θ,cos  θ.
【精彩点拨】 利用正弦函数、余弦函数的定义可求sin θ,cos θ.
【自主解答】 当a>0时,r==a,得sin θ==,cos θ==.
当a<0时,r==-a,得sin θ==
-,cos θ==-.

利用三角函数的定义求值的策略
1.求一个角的三角函数值,需确定三个量:角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离.
2.若终边在直线上时,因为角的终边是射线,应分两种情况处理.
3.若已知角,则需确定出角的终边与单位圆的交点坐标.

[再练一题]
1.已知角α的终边在直线y=2x上,求角α的正弦值和余弦值. 

【解】 设直线上任意一点P(a,2a),a≠0,
则r==|a|.
当a>0时,sin θ===,
cos θ===.
当a<0时,sin θ==-=-,
cos  θ===-.

	三角函数值的符号判断		 (1)判断符号:sin 340°·cos 265°;
(2)若sin 2α>0,且cos α<0,试确定α所在的象限.
【精彩点拨】 (1)由角的终边所在象限分别判断三角函数值的符号,进一步确定各式符号.
(2)根据正弦、余弦在各个象限的符号确定2α的象限,进而确定α所在的象限.
【自主解答】 (1)340°是第四象限角,265°是第三象限角,
sin 340°<0,cos 265°<0,
sin 340°·cos 265°>0.
(2)∵sin 2α>0,
2kπ<2α<2kπ+π(k∈Z),
kπ<α0;当角α的终边在y轴的右侧时,cos α>0.
2.对于确定角α所在象限的问题,应首先界定题目中所有三角函数的符号,然后根据各三角函数的符号来确定角α所在象限,则它们的公共象限即为所求.
3.由kπ<θ0,cos α<0,判断角α所在象限.
【解】 (1)2∈,3,4,6,
sin 2>0,cos 3<0,sin 4<0,cos 6>0,
>0.
(2)∵sin α>0,α的终边在一、二象限或y轴的正半轴上.
cos α<0,α的终边在二、三象限或x轴的负半轴上.
故当sin α>0且cos α<0时,α在第二象限.
[探究共研型]

	利用正弦、余弦函数的周期性求值		探究1 30°与390°的终边相同,两角的同一三角函数值相等吗?
【提示】 相等.
探究2 终边相同的角的同一函数值都相等吗?为什么?
【提示】 都相等.因两角终边相同,其始边与单位圆交于同一点,由三角函数定义知函数值相等.
探究3 公式sin(2kπ+x)=sin x,kZ,cos(2kπ+x)=cos x,kZ,揭示了什么规律,有什么作用?
【提示】 (1)由公式可知,三角函数的值有“周而复始”的变化规律,即角α的终边每绕原点旋转一周,函数值将重复出现一次.
(2)利用此公式,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0到2π(或0°到360°)角的三角函数值.
 求下列各角的三角函数值.
(1)sin;(2)cos 1 500°;
(3)sin π;(4)cos π.
【精彩点拨】 当角α不在0~2π之间时,常利用“终边相同的角的三角函数值相等”,把该角转化到0~2π之间,再求值.
【自主解答】 (1)sin=sin=
sin =.
(2)cos 1 500°=cos(4×360°+60°)=cos 60°=.
(3)sin π=sin=sin =.
(4)cos π=cos=cos =.

1.利用终边相同的正弦、余弦值之间的关系可把任意角的三角函数化归为[0,2π)内的三角函数,实现“负化正,大化小”,体现了数学中的化归(转化)思想.
2.一定要熟记一些特殊角的三角函数,有利于准确求值.
3.
									正弦				1					余弦				0	-	-	-		
[再练一题]
3.求下列三角函数值.
(1)cos(-1 050°);
(2)sin;
(3)log2(4 sin 1 110°).
【解】 (1)∵-1 050°=-3×360°+30°,
-1 050°的角与30°的角终边相同.
cos(-1 050)°=cos 30°=.
(2)-=-4×2π+,
角-与角的终边相同.
sin=sin=.
(3)sin 1 110°=sin(3×360°+30°)=sin 30°=,
log2(4sin 1 110°)=log2=log22=1.
[构建·体系]

1.已知P(3,4)是终边α上一点,则sin α等于(  )
A. 	B. 
C. 	D.
【解析】 r==5,sin α=.
【答案】 C
2.cos的值为(  )
A.- 	B.- 
C. 	D.
【解析】 cos=cos=cos=.
【答案】 D
3.已知函数y=f(x)是周期函数,周期T=6,f(2)=1,则f(14)=________. 

【解析】 f(14)=f(2×6+2)=f(2)=1.
【答案】 1
4.使得lg(cos α·tan α)有意义的角α是第________象限角.
【解析】 要使原式有意义,必须cos  α·tan α>0,即需cos α·tan  α同号,所以α是第一或第二象限角.
【答案】 一或二
5.求下列各式的值.
(1)sin 1 470°;(2)cos .
【解】 (1)sin 1 470°=sin(4×360°+30°)=sin 30°=.
(2)cos =cos=cos =.

我还有这些不足:
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案:
(1)______________________________________________________________
(2)____________________________________














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