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【课堂新坐标】2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案:1.3 弧度制

资料类别: 数学/学案

所属版本: 北师大版

所属地区: 全国

上传时间:2017/1/13

下载次数:165次

资料类型:

文档大小:363KB

所属点数: 0

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§3 弧度制

1.了解角的另外一种度量方法——弧度制.
2.能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算.(重点)3.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式.(难点)


[基础·初探]
教材整理 弧度制
阅读教材P9~P11,完成下列问题.
1.弧度制的定义
在单位圆中,长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角.它的单位符号是rad,读作弧度.以弧度作为单位来度量角的单位制,叫作弧度制.
2.角度制与弧度制的互化
(1)弧度数
正角的弧度数是一个正数;
负角的弧度数是一个负数;
零角的弧度数是0;
弧度数与十进制实数间存在一一对应关系.
(2)弧度数的计算
|α|=.如图1-3-1:
图1-3-1
(3)角度制与弧度制的换算
图1-3-2
(4)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度	0°	1°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	270°	360°		弧度	0									π		2π		3.弧长公式与扇形面积公式
已知r为扇形所在圆的半径,n为圆心角的度数,α为圆心角的弧度数.
	角度制	弧度制		弧长公式	l=	l=|α|r		扇形面积公式	S=	S=l·r=|α|r2		
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.(  )
(2)1度的角是周角的,1弧度的角是周角的.(  )
(3)根据弧度的定义,180°一定等于π弧度.(  )
(4)不论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径长短有关.(  )
【解析】 (1)正确.
(2)正确.1度的角是周角的,1弧度的角是周角的.
(3)正确.根据弧度的定义,180°一定等于π弧度.
(4)错误.根据角度制与弧度制的定义,无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径长短无关,而是与弧长和半径的比值有关.
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问2:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问3:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
[小组合作型]
	弧度制与角度制的互化		 将下列角度与弧度进行互化.
(1)20°;(2)-15°;(3);(4)-π.
【精彩点拨】 本题主要考查角度与弧度的换算.直接套用角度与弧度的换算公式,即度数×=弧度数,弧度数×=度数.
【自主解答】 (1)20°==.
(2)-15°=-π=-.
(3)π=×180°=105°.
(4)-π=-×180°=-396°.

角度制与弧度制互化的策略
1.原则
牢记180°=π rad.充分利用1°= rad和1 rad=进行换算.
2.方法
设一个角的弧度数为α,角度数为n.则α rad=α·;n°=n· rad.
3.注意事项
(1)将角度化为弧度,当角度中含有“分”“秒”单位时,应先将它们统一转化为“度”,再利用1°= rad化为弧度便可.
(2)以弧度为单位表示角时,常把弧度写成多少π的形式,如无特殊要求,不必把π写成小数.

[再练一题]
1.将112°30′化为弧度,将-π化为度. 

【解】 112°30′=112.5°=112.5×=rad,又1 rad=,-π rad=-π×=-75°.

	用弧度制表示终边相同的角		 (1)将-1 500°表示成2kπ+α(0≤α<2π,kZ)的形式,并指出它是第几象限角;
(2)在0°~720°范围内,找出与角终边相同的角.
【精彩点拨】 (1)把角度换算为弧度,表示成2kπ+α(kZ)的形式即可求解;
(2)把弧度换算为角度,写出与其终边相同的角,调整k使待求角在[0°,720°)内.
【自主解答】 (1)-1 500°=-1 500×=-=-10π+.
是第四象限角,-1 500°是第四象限角.
(2)=×180°=72°,终边与角相同的角为θ=72°+k·360°(kZ),当k=0时,θ=72°;当k=1时,θ=432°,在0°~720°范围内,与角终边相同的角为72°,432°.
[再练一题]
2.设α1=-570°,α2=750°,β1=,β2=-.
(1)将α1,α2用弧度制表示出来,并指出它们各自的终边所在的象限;
(2)将β1,β2用角度制表示出来,并在-720°~0°范围内找出与它们终边相同的所有角.
【解】 (1)180°=π rad,
α1=-570°=-=-=-2×2π+,
α2=750°===2×2π+.
α1的终边在第二象限,α2的终边在第一象限.
(2)β1==×180°=108°,设θ=108°+k·360°(kZ),则由-720°≤θ<0°,即-720°≤108°+k·360°<0°,得k=-2,或k=-1.
故在-720°~0°范围内,与β1终边相同的角是-612°和-252°.
β2=-=-60°,设γ=-60°+k·360°(kZ),则由-720°≤-60°+k·360°<0°,得k=-1,或k=0.
故在-720°~0°范围内,与β2终边相同的角是-420°.
[探究共研型]

	扇形的弧长及面积公式		探究1 扇形的半径,弧长及圆心角存在怎样的关系?
【提示】 |α|=.
探究2 扇形的周长如何计算?
【提示】 扇形的周长等于相应的弧长与2个半径之和.
探究3 扇形的面积和相应的弧长存在怎样的关系?
【提示】 S=lr.
 如图1-3-3,扇形AOB的面积为4,周长为10,求扇形的圆心角α(0<α<2π)的弧度数.
图1-3-3
【精彩点拨】 S=lr,l+2r=周长→求l,r值→α=
【自主解答】 设长为l,扇形半径为r,由题意得:
解得或(舍)
故α==(rad),即扇形的圆心角为 rad.

涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等计算,关键是先分析题目,已知哪些量求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.

[再练一题]
3.(1)已知扇形的半径为1 cm,圆心角为30°,求扇形的弧长和面积;
(2)已知扇形的周长为6 cm,面积为2 cm2,求扇形圆心角的弧度数.【解】 (1)α=30°=,l=|α|r=×1=(cm),
S=|α|r2=××12=(cm2),
故扇形的弧长为 cm,面积为 cm2.
(2)设扇形的弧长为l,所在圆的半径为r,由题意得
消去l并整理得,
r2-3r+2=0,
解得r=1或r=2.当r=1时,l=4,圆心角α===4;
当r=2时,l=2,圆心角α===1.
故扇形的圆心角为1弧度或4弧度.
[构建·体系]

1.下列说法中,错误的说法是(  )
A.半圆所对的圆心角是π rad
B.周角的大小等于2π
C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
【解析】根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A,B,C均正确,D错误.
【答案】 D
2.已知α=-2 ,则α的终边在(  )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】 1 rad≈57.30°,
-2 rad≈-114.60°.
故α的终边在第三象限.
【答案】 C
3.-π rad化为角度应为________. 

【解析】 -π=-×180°=-345°.
【答案】 -345°
4.如果一扇形的弧长变为原来的倍,半径变为原来的一半,则该扇形的面积为原扇形面积的________倍.
【解析】 由于S=lR,若l′=l,R′=R,则S′=l′R′=×l×R=S.
【答案】 
5.已知集合A={α|2kπ<α<π+2kπ,kZ},B={α|-4≤α≤4},求A∩B.
【解】 A={α|2kπ<α<π+2kπ,kZ},
令k=1,有2π<α<3π,而2π>4;
令k=0,有0<α<π;
令k=-1,有-2π<α<-π,
而-2π<-4<-π,
故A∩B={α|-4≤a<-π或0<α<π}.

我还有这些不足:
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案:
(1)______________________________________________________________
(2)____________________________________














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