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【课堂新坐标】2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案:1.1+2 角的概念的推广

资料类别: 数学/学案

所属版本: 北师大版

所属地区: 全国

上传时间:2017/1/13

下载次数:227次

资料类型:

文档大小:803KB

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§1 周期现象
§2 角的概念的推广

1.了解现实生活中的周期现象.
2.了解任意角的概念,理解象限角的概念.(重点) 
3.掌握终边相同角的含义及表示.(难点)
4.会用集合表示象限角.(易错点)


[基础·初探]
教材整理1 周期现象
阅读教材P3~P4“例3”以上部分,完成下列问题.
1.以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象.
2.要判断一种现象是否为周期现象,关键是看每隔一段时间,这种现象是否会重复出现,若出现,则为周期现象;否则,不是周期现象.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)某同学每天上学的时间是周期现象.(  )
(2)月球到太阳的距离随时间的变化是周期现象.(  )
(3)潮汐现象是周期现象.(  )
【解析】 (1)由周期现象的概念知,某同学每天上学的时间不是周期现象.
(2)月球到太阳的距离在任何一个确定的时刻都是确定的,并且经过一定时间,月球又回到原来的位置,因此,是周期现象.
(3)每一昼夜潮水会涨落两次,是周期现象.
【答案】 (1)× (2)√ (3)√
教材整理2 角的概念
阅读教材P6~P7“例1”以上部分,完成下列问题.
1.角的有关概念

2.角的概念的推广
类型	定义	图示		正角	按逆时针方向旋转形成的角			负角	按顺时针方向旋转形成的角			零角	一条射线从起始位置OA没有作任何旋转,终止位置OB与起始位置OA重合,称这样的角为零度角,又称零角			3.象限角的概念
(1)前提条件
角的顶点与原点重合.
角的始边与x轴的非负半轴重合.
(2)结论
角的终边(除端点外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.
(3)各象限角的表示
第一象限:S={α|k·360°<α<90°+k·360°,kZ};
第二象限:S={α|90°+k·360°<α<180°+k·360°,kZ};
第三象限:S={α|180°+k·360°<α<270°+k·360°,kZ};
第四象限:S={α|270°+k·360°<α<360°+k·360°,kZ}.
(4)终边相同的角及其表示
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合:S={β|β=α+k×360°, kZ}.
如图1-2-1所示:
图1-2-1
注意以下几点:
k是整数,这个条件不能漏掉.
α是任意角.
k·360°与α之间用“+”号连接,如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°)(kZ).
终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同,终边相同的角有无数个,它们相差周角的整数倍.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)三角形的内角必为第一、二象限角.(  )
(2)第三象限角一定比钝角大.(  )
(3)始边相同,终边不同的角一定不相等.(  )
【解析】 (1)当三角形的一个内角为90°时,就不是第一、二象限角.(2)第三象限角为负角时比钝角小.(3)据终边相同角的含义知,终边不同的角一定不相等.
【答案】 (1)× (2)× (3)√
 [质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问2:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
疑问3:_________________________________________________________
解惑:___________________________________________________________
[小组合作型]
	周期现象的判断		 (1)下列变化中不是周期现象的是(  )
A.“春去春又回”
B.钟表的分针每小时转一圈
C.天干地支表示年、月、日的时间顺序
D.某交通路口每次绿灯通过的车辆数
(2)水车上装有16个盛水槽,每个盛水槽最多盛水10升,假设水车5分钟转一圈,计算1小时内最多盛水多少升.
【自主解答】 (1)由周期现象的概念易知,某交通路口每次绿灯通过的车辆数不是周期现象.故选D.
【答案】 D
(2)因为1小时=60分钟=12×5分钟,且水车5分钟转一圈,所以1小时内水车转12圈.又因为水车上装有16个盛水槽,每个盛水槽最多盛水10升,所以每转一圈,最多盛水16×10=160(升),所以水车1小时内最多盛水160×12=1 920(升).

1.应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”“化无限为有限”的目的.
2.只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”,就可以把问题转化到一个周期内来解决.

[再练一题]
1.如图1-2-2所示是某人的心电图,根据这个心电图,请你判断其心脏跳动是否正常.
图1-2-2
【解】 观察图像可知,此人的心电图是周期性变化的,因此心脏跳动正常.

	角的概念		 下列结论:
锐角都是第一象限角;
第二象限角是钝角;
小于180 °的角是钝角、直角或锐角.
其中,正确结论的序号为________.(把正确结论的序号都写上) 

【精彩点拨】 根据任意角、象限角的概念进行判断,正确区分第一象限角、锐角和小于90°的角.
【自主解答】 锐角是大于0°且小于90°的角,终边落在第一象限,故是第一象限角,所以正确;
480°角是第二象限角,但它不是钝角,所以不正确;
0°角小于180°,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,所以不正确.
【答案】 


判断角的概念问题的关键与技巧
1.关键:正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.
2.技巧:判断命题为真需要证明,而判断命题为假只要举出反例即可.

[再练一题]
2.(2016·咸阳高一检测)下列说法正确的是(  )
A.终边相同的角一定相等
B.钝角一定是第二象限角
C.第一象限角一定不是负角
D.小于90°的角都是锐角
【解析】 终边相同的角不一定相等,故A不正确;钝角一定是第二象限角,故B正确;因-330°是第一象限角,因而C不正确;-45°<90°,但它不是锐角,所以D不正确.
【答案】 B
[探究共研型]
	象限角表示		探究1 如果把象限角定义中的“角的始边与x轴的非负半轴重合”改为“与x轴的正半轴重合”行不行,为什么?
【提示】  不行.因为始边包括端点(原点).
探究2 是不是任意角都可以归结为是象限角?为什么?
【提示】 不是.一些特殊角终边可能落在坐标轴上.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.
探究3 终边落在坐标轴上的角经常用到,下表是终边落在x轴、y轴各半轴上的角,请完成下表.
α终边所在的位置	角α的集合		x轴正半轴			x轴负半轴			y轴正半轴			y轴负半轴			【提示】 x轴正半轴:{α|α=k·360°,kZ},
x轴负半轴:{α|α=k·360°+180°,kZ},
y轴正半轴:{α|α=k·360°+90°,kZ},
y轴负半轴:{α|α=k·360°+270°,kZ}.
 已知α为第二象限角,问2α,分别为第几象限的角?
【精彩点拨】 由角α为第二象限角,可以写出α的范围:90°+k·360°<α<180°+k·360°(kZ),在此基础上可以判断2α,的范围,进而可以判断出它们所在的象限.
【自主解答】 α是第二象限角,
90°+k·360°<α<180°+k·360°(kZ).
180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(kZ).
2α是第三或第四象限角,以及终边落在y轴的负半轴上的角.
同理,45°+·360°<<90°+·360°(kZ).
当k为偶数时,令k=2n(nZ).
则45°+n·360°<<90°+n·360°(kZ),
此时为第一象限角;
当k为奇数时,令k=2n+1(nZ).
则225°+n·360°<<270°+n·360°(nZ).
此时为第三象限角,
综上可知,为第一或第三象限角.
[再练一题]
3.本例中,是第几象限角?
【解】 α为第二象限角.
90°+k·360°<α<180°+k·360°(kZ).
30°+·360°<<60°+·360°(kZ).
当k=3n(nZ)时,
30°+n·360°<<60°+n·360°.
此时,为第一象限角;
当k=3n+1(nZ)时,
150°+n·360°<<180°+n·360°.
此时,为第二象限角;
当k=3n+2(nZ)时,
270°+n·360°<<300°+n·360°.
此时,为第四象限角.
综上可知,为第一或第二或第四象限角.

	终边相同的角		探究4 在同一坐标系中作出390 °,-330°,30°的角并观察,这三个角终边之间的关系?角的大小关系?
【提示】如图所示,三个角终边相同,相差360°的整数倍.
探究5 对于任意一个角α,与它终边相同的角的集合应如何表示?
【提示】 所有与角α终边相同的角连同α在内,可以构成一个集合.S={β|β=α+k·360°,kZ},即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角整数倍的和.
 已知α=-1 910°.
(1)把α写成β+k·360°(kZ,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;
(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.【精彩点拨】 利用终边相同的角的关系β=α+k·360°,kZ.
【自主解答】 (1)-1 910°=250°-6×360°,其中β=250°,从而α=250°+(-6)×360°,它是第三象限的角.
(2)令θ=250°+k·360°(kZ),
取k=-1,-2就得到满足-720°≤θ<0°的角,
即250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.
所以θ为-110°,-470°.

终边相同的角相差360°的整数倍.判定一个角在第几象限,只要在0°~360°范围内找与它终边相同的角,即把这个角β写成β=α+k×360°(0°≤α<360°)(kZ)的形式,判断角α是第几象限角即可.

[再练一题]
4.在与角10 030°终边相同的角中,求满足下列条件的角.
(1)最大的负角;
(2)最小的正角;
(3)360°~720°的角.
【解】 (1)与10 030°终边相同的角的一般形式为β=k·360°+10 030°(kZ),由-360°
        
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