§1 归纳与类比
1．1 归纳推理
1．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理．(重点)
2．了解归纳推理在数学发展中的作用．(难点)
[基础·初探]
教材整理 归纳推理
阅读教材P53～P55“练习”以上部分，完成下列问题．
1．归纳推理的定义
根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理．
2．归纳推理的特征
归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．利用归纳推理得出的结论不一定是正确的．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理．( )
(2)由个别到一般的推理称为归纳推理．( )
(3)由归纳推理所得到的结论一定是正确的．( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：___________________________________________________
解惑：___________________________________________________
疑问2：___________________________________________________
解惑：___________________________________________________
疑问3：___________________________________________________
解惑：___________________________________________________
[小组合作型]
,数式中的归纳推理
(1)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28 B．76
C．123 D．199
(2)已知f(x)＝，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且nN＋)，则f3(x)的表达式为________，猜想fn(x)(nN＋)的表达式为________.
【精彩点拨】 (1)记an＋bn＝f(n)，观察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之间的关系，再归纳得出结论．
(2)写出前n项发现规律，归纳猜想结果．
【自主解答】 (1)记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(nN＋，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.
所以a10＋b10＝123.
(2)f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f1(f1(x))＝＝，
f3(x)＝f2(f2(x))＝＝，
由f1(x)，f2(x)，f3(x)的表达式，归纳fn(x)＝(nN＋)．
【答案】 (1)C (2)f3(x)＝ fn(x)＝(nN＋)
已知等式或不等式进行归纳推理的方法：
(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；
(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；
(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；
(4)运用归纳推理得出一般结论．
[再练一题]
1．应用归纳推理猜测＝________. 2n个1 n个2
【解析】 n＝1时，有＝＝3，
n＝2时，有＝＝33，
n＝3时，有＝＝333；
…
猜想：
【答案】
n个3
,数列中的归纳推理
(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－，则a2 017等于( )
A．2 B．－
C．－2 D．1
(2)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图311:
图311
由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形数的特点，归纳第n个三角形数的石子个数．
【精彩点拨】 (1)写出数列的前n项，再利用数列的周期性解答．
(2)可根据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律，如1＝1,3＝1＋2,6＝1＋2＋3；也可以直接分析三角形数与n的对应关系，进而归纳出第n个三角形数．
【自主解答】 (1)a1＝1，a2＝－，a3＝－2，a4＝1，…，数列{an}是周期为3的数列，2 017＝672×3＋1，
a2 017＝a1＝1.
【答案】 D
(2)法一：由
1＝1，
3＝1＋2，
6＝1＋2＋3，
10＝1＋2＋3＋4，
可归纳出第n个三角形数为1＋2＋3＋…＋n＝.
法二 观察项数与对应项的关系特点如下：
项数 1 2 3 4 对应项 分析：各项的分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数加1的积．
归纳：第n个三角形数的石子数应为.
数列中的归纳推理：
在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．
(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；
(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；
(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．
[再练一题]
2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3，…)．
(1)求a2，a3，a4，a5；
(2)归纳猜想通项公式an.
【解】 (1)当n＝1时，知a1＝1，
由an＋1＝2an＋1，
得a2＝3，
a3＝7，a4＝15，a5＝31.
(2)由a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，
a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，
可归纳猜想出an＝2n－1(nN＋)．
[探究共研型]
,几何图形中的归纳推理
探究1 在法国巴黎举行的第52届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按图312所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，试求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值．
图312
【提示】 观察图形可知，f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20.
探究2 上述问题中，试用n表示出f(n)的表达式．
【提示】 由题意可得：下一堆的个数是上一堆个数加下一堆第一层的个数，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋10；…；f(n)＝f(n－1)＋.
将以上(n－1)个式子相加可得
f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋
＝[(12＋22＋…＋n2)＋(1＋2＋3＋…＋n)]
＝
＝.
有两种花色的正六边形地面砖，按图313的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )
图313
A．26 B．31
C．32 D．36
【精彩点拨】 解答本题可先通过观察、分析找到规律，再利用归纳得到结论．
【自主解答】 法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：
图案 1 2 3 … 个数 6 11 16 … 由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.
法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为6＋5×(6－1)＝31.
【答案】 B
归纳推理在图形中的应用策略：
通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需把形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：
[再练一题]
3．根据图314中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________.
图314
【解析】 分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想，图形到中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.
【答案】 509
[构建·体系]
1．(2016·厦门高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图315所示：
图315
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
【解析】 a1＝8，a2＝14，a3＝20，猜想an＝6n＋2.
【答案】 C
2．(2015·广东高考)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )
A．至多等于3 B．至多等于4
C．等于5 D．大于5
【解析】 n＝2时，可以；n＝3时，为正三角形，可以；n＝4时，为正四面体，可以；n＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能．
【答案】 B
3．经计算发现下列不等式：＋<2，＋<2，＋<2，…根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：________.
【答案】 当a＋b＝20时，有＋<2，a，bR＋
4．观察下列等式：
1＝1；
2＋3＋4＝9；
3＋4＋5＋6＋7＝25；
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49.
照此规律，第五个等式应为________.
【解析】 由于1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81.
【答案】 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81
5．有以下三个不等式：
(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2，
(62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2，
(202＋102)(1022＋72)≥(20×102＋10×7)2.
请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论．
【解】 结论为：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
证明：(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2
＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－(a2c2＋b2d2＋2abcd)
＝a2d2＋b2c2－2abcd＝(ad－bc)2≥0.
所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
我还有这些不足：
(1)___________________________________
(2)___________________________________
我的课下提升方案：
(1)___________________________________
(2)___________________________________
学业分层测评(六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．数列5,9,17,33，x，…中的x等于( )
A．47 B．65
C．63 D．128
【解析】 5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x＝26＋1＝65.
【答案】 B
2．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 016的末两位数字为( )
A．01 B．43
C．07 D．49
【解析】 75＝16 807,76＝117 649，由运算规律知末两位数字以4为周期重复出现，故72 016＝74×504，故其末两位数字为01.
【答案】 A
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，且a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an＝( )
A． B．
C． D．
【解析】 可以通过Sn＝n2·an(n≥2)分别代入n＝2,3,4，求得a2＝，a3＝，a4＝，猜想an＝.
【答案】 B
4．我们把1,4,9,16,25，…这些数称作正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图316)．
图316
则第n个正方形数是( )
A．n(n－1) B．n(n＋1)
C．n2 D．(n＋1)2
【解析】 观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.
【答案】 C
5．如图317所示，着色的三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )
图317
A．an＝3n－1 B．an＝3n
C．an＝3n－2n D．an＝3n－1＋2n－3
【解析】 a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，猜想an＝3n－1.
【答案】 A
二、填空题
6．设f(x)＝，x1＝1，xn＝f(xn－1)(n≥2)，则x2，x3，x4分别为________，猜想xn＝________.
【解析】 x2＝f(x1)＝＝，x3＝f(x2)＝＝，x4＝f(x3)＝＝，xn＝.
【答案】 ，，
7．根据给出的数塔，猜测123 456×9＋7等于________.
1×9＋2＝11，
12×9＋3＝111，
123×9＋4＝1 111，
1 234×9＋5＝11 111，
12 345×9＋6＝111 111.
【解析】 由前5个等式知，右边各位数字均为1，位数比前一个等式依次多1位，所以123 456×9＋7＝1 111 111.
【答案】 1 111 111
8．如图318所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，nN＋)个点，每个图形总的点数记为an，则a6＝_________________，an＝______________.
图318
【解析】 依据图形特点可知当n＝6时，三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.
由n＝2,3,4,5,6时各图形的特点归纳得an＝3n－3(n≥2，nN＋)．
【答案】 15 3n－3(n≥2，nN＋)
三、解答题
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且Sn－1＋＋2＝0(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．
【解】 当n＝1时，S1＝a1＝1；
当n＝2时，＝－2－S1＝－3，
S2＝－；
当n＝3时，＝－2－S2＝－，
S3＝－；
当n＝4时，＝－2－S3＝－，
S4＝－.
猜想：Sn＝－(nN＋)．
10．已知f(x)＝，分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.
【解】 由f(x)＝，得f(0)＋f(1)＝＋＝，
f(－1)＋f(2)＝＋＝，
f(－2)＋f(3)＝＋＝.
归纳猜想一般性结论为f(－x)＋f(x＋1)＝.
证明如下：
f(－x)＋f(x＋1)＝＋＝＋＝＋
＝＝＝.
[能力提升]
1．(2016·西安期末检测)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为( )
A．n＋1 B．2n
C． D．n2＋n＋1
【解析】 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…，n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域，选C．
【答案】 C
2．(2016·南昌调研)已知整数对的序列为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第57个数对是( )
A．(2,10) B．(10,2)
C．(3,5) D．(5,3)
【解析】 由题意，发现所给数对有如下规律：
(1,1)的和为2，共1个；
(1,2)，(2,1)的和为3，共2个；
(1,3)，(2,2)，(3,1)的和为4，共3个；
(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和为5，共4个；
(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和为6，共5个．
由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n－1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2,10)．
【答案】 A
3．如图319，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向三角形外作正三角形，并擦去中间一段，得图319，如此继续下去，得图319，…，试用n表示出第n个图形的边数an＝________.
图319
【解析】 观察图形可知，a1＝3，a2＝12，a3＝48，…，故{an}是首项为3，公比为4的等比数列，故an＝3×4n－1.
【答案】 3×4n－1
4．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
【解】 (1)选择式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.
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