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【课堂新坐标】2016-2017学年高二数学北师大版选修1-2学案:3.1.1 归纳推理

资料类别: 数学/学案

所属版本: 北师大版

所属地区: 全国

上传时间:2017/1/13

下载次数:153次

资料类型:

文档大小:908KB

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§1 归纳与类比
1.1 归纳推理

1.了解归纳推理的含义,能利用归纳推理进行简单的推理.(重点)
2.了解归纳推理在数学发展中的作用.(难点)


[基础·初探]
教材整理 归纳推理
阅读教材P53~P55“练习”以上部分,完成下列问题.
1.归纳推理的定义
根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物都有这种属性,这种推理方式称为归纳推理.
2.归纳推理的特征
归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理.利用归纳推理得出的结论不一定是正确的.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,这种估计属于归纳推理.(  )
(2)由个别到一般的推理称为归纳推理.(  )
(3)由归纳推理所得到的结论一定是正确的.(  )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)×
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:___________________________________________________
解惑:___________________________________________________
疑问2:___________________________________________________
解惑:___________________________________________________
疑问3:___________________________________________________
解惑:___________________________________________________

[小组合作型]
,数式中的归纳推理
 (1)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=(  )
A.28       	B.76
C.123 	D.199
(2)已知f(x)=,设f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1(fn-1(x))(n>1,且nN+),则f3(x)的表达式为________,猜想fn(x)(nN+)的表达式为________.
【精彩点拨】 (1)记an+bn=f(n),观察f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)之间的关系,再归纳得出结论.
(2)写出前n项发现规律,归纳猜想结果.
【自主解答】 (1)记an+bn=f(n),则f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现f(n)=f(n-1)+f(n-2)(nN+,n≥3),则f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9)=123.
所以a10+b10=123.
(2)f1(x)=f(x)=,
f2(x)=f1(f1(x))==,
f3(x)=f2(f2(x))==,
由f1(x),f2(x),f3(x)的表达式,归纳fn(x)=(nN+).
【答案】 (1)C (2)f3(x)= fn(x)=(nN+)

已知等式或不等式进行归纳推理的方法:
(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律;
(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征;
(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点;
(4)运用归纳推理得出一般结论.

[再练一题]
1.应用归纳推理猜测=________.          2n个1 n个2
【解析】 n=1时,有==3,
n=2时,有==33,
n=3时,有==333;
…
猜想:

【答案】 
n个3
,数列中的归纳推理
 (1)在数列{an}中,a1=1,an+1=-,则a2 017等于(  )
A.2        	B.-
C.-2 	D.1
(2)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,如图3­1­1: 

图3­1­1
由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形,故被称为三角形数,试结合组成三角形数的特点,归纳第n个三角形数的石子个数.
【精彩点拨】 (1)写出数列的前n项,再利用数列的周期性解答.
(2)可根据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律,如1=1,3=1+2,6=1+2+3;也可以直接分析三角形数与n的对应关系,进而归纳出第n个三角形数.
【自主解答】 (1)a1=1,a2=-,a3=-2,a4=1,…,数列{an}是周期为3的数列,2 017=672×3+1,
a2 017=a1=1.
【答案】 D
(2)法一:由
1=1,
3=1+2,
6=1+2+3,
10=1+2+3+4,
可归纳出第n个三角形数为1+2+3+…+n=.
法二 观察项数与对应项的关系特点如下:
项数	1	2	3	4		对应项						分析:各项的分母均为2,分子分别为相应项数与相应项数加1的积.
归纳:第n个三角形数的石子数应为.

数列中的归纳推理:
在数列问题中,常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和.
(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和;
(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解;
(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式.

[再练一题]
2.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n=1,2,3,…).
(1)求a2,a3,a4,a5;
(2)归纳猜想通项公式an.
【解】 (1)当n=1时,知a1=1,
由an+1=2an+1,
得a2=3,
a3=7,a4=15,a5=31.
(2)由a1=1=21-1,a2=3=22-1,
a3=7=23-1,a4=15=24-1,a5=31=25-1,
可归纳猜想出an=2n-1(nN+).
[探究共研型]
,几何图形中的归纳推理
探究1 在法国巴黎举行的第52届世乒赛期间,某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第1堆只有一层,就一个球;第2,3,4,…堆最底层(第一层)分别按图3­1­2所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n堆第n层就放一个乒乓球,以f(n)表示第n堆的乒乓球总数,试求f(1),f(2),f(3),f(4)的值.

图3­1­2
【提示】 观察图形可知,f(1)=1,f(2)=4,f(3)=10,f(4)=20.
探究2 上述问题中,试用n表示出f(n)的表达式.
【提示】 由题意可得:下一堆的个数是上一堆个数加下一堆第一层的个数,即f(2)=f(1)+3;f(3)=f(2)+6;f(4)=f(3)+10;…;f(n)=f(n-1)+.
将以上(n-1)个式子相加可得
f(n)=f(1)+3+6+10+…+
=[(12+22+…+n2)+(1+2+3+…+n)]
=
=.
 有两种花色的正六边形地面砖,按图3­1­3的规律拼成若干个图案,则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是(  )

图3­1­3
A.26 	B.31
C.32 	D.36
【精彩点拨】 解答本题可先通过观察、分析找到规律,再利用归纳得到结论.
【自主解答】 法一:有菱形纹的正六边形个数如下表:
图案	1	2	3	…		个数	6	11	16	…		由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项,以5为公差的等差数列,所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6+5×(6-1)=31.
法二:由图案的排列规律可知,除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外,每增加一块无纹正六边形,只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形),故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为6+5×(6-1)=31.
【答案】 B

归纳推理在图形中的应用策略:
通过一组平面或空间图形的变化规律,研究其一般性结论,通常需把形状问题数字化,展现数学之间的规律、特征,然后进行归纳推理.解答该类问题的一般策略是:


[再练一题]
3.根据图3­1­4中线段的排列规则,试猜想第8个图形中线段的条数为________.

图3­1­4
【解析】 分别求出前4个图形中线段的数目,发现规律,得出猜想,图形到中线段的条数分别为1,5,13,29,因为1=22-3,5=23-3,13=24-3,29=25-3,因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28+1-3=509.
【答案】 509
[构建·体系]


1.(2016·厦门高二检测)用火柴棒摆“金鱼”,如图3­1­5所示:

图3­1­5
按照上面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为(  )
A.6n-2     	B.8n-2
C.6n+2 	D.8n+2
【解析】 a1=8,a2=14,a3=20,猜想an=6n+2.
【答案】 C
2.(2015·广东高考)若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值(  )
A.至多等于3     	B.至多等于4
C.等于5 	D.大于5
【解析】 n=2时,可以;n=3时,为正三角形,可以;n=4时,为正四面体,可以;n=5时,为四棱锥,侧面为正三角形,底面为菱形且对角线长与边长相等,不可能.
【答案】 B
3.经计算发现下列不等式:+<2,+<2,+<2,…根据以上不等式的规律,试写出一个对正实数a,b都成立的条件不等式:________.
【答案】 当a+b=20时,有+<2,a,bR+
4.观察下列等式:
1=1;
2+3+4=9;
3+4+5+6+7=25;
4+5+6+7+8+9+10=49.
照此规律,第五个等式应为________.
【解析】 由于1=12,2+3+4=9=32,3+4+5+6+7=25=52,4+5+6+7+8+9+10=49=72,所以第五个等式为5+6+7+8+9+10+11+12+13=92=81.
【答案】 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81
5.有以下三个不等式:
(12+42)(92+52)≥(1×9+4×5)2,
(62+82)(22+122)≥(6×2+8×12)2,
(202+102)(1022+72)≥(20×102+10×7)2.
请你观察这三个不等式,猜想出一个一般性的结论,并证明你的结论.
【解】 结论为:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.
证明:(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2
=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-(a2c2+b2d2+2abcd)
=a2d2+b2c2-2abcd=(ad-bc)2≥0.
所以(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.

我还有这些不足:
(1)___________________________________
(2)___________________________________
我的课下提升方案:
(1)___________________________________
(2)___________________________________

学业分层测评(六)
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.数列5,9,17,33,x,…中的x等于(  )
A.47         	B.65
C.63 	D.128
【解析】 5=22+1,9=23+1,17=24+1,33=25+1,归纳可得:x=26+1=65.
【答案】 B
2.观察下列各式:72=49,73=343,74=2 401,…,则72 016的末两位数字为(  )
A.01 	B.43
C.07 	D.49
【解析】 75=16 807,76=117 649,由运算规律知末两位数字以4为周期重复出现,故72 016=74×504,故其末两位数字为01.
【答案】 A
3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2·an(n≥2),且a1=1,通过计算a2,a3,a4,猜想an=(  )
A.    	B.
C. 	D.
【解析】 可以通过Sn=n2·an(n≥2)分别代入n=2,3,4,求得a2=,a3=,a4=,猜想an=.
【答案】 B
4.我们把1,4,9,16,25,…这些数称作正方形数,这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图3­1­6).

图3­1­6
则第n个正方形数是(  )
A.n(n-1)      	B.n(n+1)
C.n2 	D.(n+1)2
【解析】 观察前5个正方形数,恰好是序号的平方,所以第n个正方形数应为n2.
【答案】 C
5.如图3­1­7所示,着色的三角形的个数依次构成数列{an}的前4项,则这个数列的一个通项公式为(  )

图3­1­7
A.an=3n-1 	B.an=3n
C.an=3n-2n 	D.an=3n-1+2n-3
【解析】 a1=1,a2=3,a3=9,a4=27,猜想an=3n-1.
【答案】 A
二、填空题
6.设f(x)=,x1=1,xn=f(xn-1)(n≥2),则x2,x3,x4分别为________,猜想xn=________.
【解析】 x2=f(x1)==,x3=f(x2)==,x4=f(x3)==,xn=.
【答案】 ,, 
7.根据给出的数塔,猜测123 456×9+7等于________.
1×9+2=11,
12×9+3=111,
123×9+4=1 111,
1 234×9+5=11 111,
12 345×9+6=111 111.
【解析】 由前5个等式知,右边各位数字均为1,位数比前一个等式依次多1位,所以123 456×9+7=1 111 111.
【答案】 1 111 111
8.如图3­1­8所示,由若干个点组成形如三角形的图形,每条边(包括两个端点)有n(n>1,nN+)个点,每个图形总的点数记为an,则a6=_________________,an=______________.

图3­1­8
【解析】 依据图形特点可知当n=6时,三角形各边上各有6个点,因此a6=3×6-3=15.
由n=2,3,4,5,6时各图形的特点归纳得an=3n-3(n≥2,nN+).
【答案】 15 3n-3(n≥2,nN+)
三、解答题
9.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且Sn-1++2=0(n≥2),计算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式.
【解】 当n=1时,S1=a1=1;
当n=2时,=-2-S1=-3,
S2=-;
当n=3时,=-2-S2=-,
S3=-;
当n=4时,=-2-S3=-,
S4=-.
猜想:Sn=-(nN+).
10.已知f(x)=,分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)的值,然后归纳猜想一般性结论,并证明你的结论. 
【解】 由f(x)=,得f(0)+f(1)=+=,
f(-1)+f(2)=+=,
f(-2)+f(3)=+=.
归纳猜想一般性结论为f(-x)+f(x+1)=.
证明如下:
f(-x)+f(x+1)=+=+=+
===.
[能力提升]
1.(2016·西安期末检测)平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为(  )
A.n+1       	B.2n
C. 	D.n2+n+1
【解析】 1条直线将平面分成1+1个区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域;…,n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+=个区域,选C.
【答案】 C
2.(2016·南昌调研)已知整数对的序列为(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…,则第57个数对是(  )
A.(2,10) 	B.(10,2)
C.(3,5) 	D.(5,3)
【解析】 由题意,发现所给数对有如下规律:
(1,1)的和为2,共1个;
(1,2),(2,1)的和为3,共2个;
(1,3),(2,2),(3,1)的和为4,共3个;
(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)的和为5,共4个;
(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)的和为6,共5个.
由此可知,当数对中两个数字之和为n时,有n-1个数对.易知第57个数对中两数之和为12,且是两数之和为12的数对中的第2个数对,故为(2,10).
【答案】 A
3.如图3­1­9,将一个边长为1的正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向三角形外作正三角形,并擦去中间一段,得图3­1­9,如此继续下去,得图3­1­9,…,试用n表示出第n个图形的边数an=________.

            
图3­1­9
【解析】 观察图形可知,a1=3,a2=12,a3=48,…,故{an}是首项为3,公比为4的等比数列,故an=3×4n-1.
【答案】 3×4n-1
4.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:
sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°;
sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°;
sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°;
sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°;
sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
【解】 (1)选择式,计算如下:sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1-sin 30°=1-=.
(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=.
证明如下:
sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)
=sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α)
=sin2α+cos2α+sin αcos α+sin2α-sin αcos α-sin2α
=sin2α+cos2α=.













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