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【课堂新坐标】2016-2017学年高二数学北师大版选修1-2学案:1.2.1 条件概率与独立事件

资料类别: 数学/学案

所属版本: 北师大版

所属地区: 全国

上传时间:2017/1/13

下载次数:232次

资料类型:

文档大小:441KB

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§2 独立性检验
2.1 条件概率与独立事件

1.了解条件概率的概念及计算.(重点)
2.理解相互独立事件的意义及相互独立事件同时发生的概率乘法公式.(重点)
3.掌握利用概率的知识分析解决实际问题的方法.(难点)


[基础·初探]
教材整理1 条件概率
阅读教材P17~P18部分,完成下列问题.
1.概念
已知事件B发生的条件下,A发生的概率,称为B发生时A发生的条件概率,记为P(A|B).
2.公式
当P(B)>0时,P(A|B)=.

从1,2,3,4,5中任取两个不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=(  )
A.  	B.  
C.  	D.
【解析】 从1,2,3,4,5中任取两个数共有10种取法,事件A包含(1,3),(1,5),(3,5),(2,4)共4个基本事件,事件B包含(2,4)一个基本事件,故P(A)=,P(AB)=.所以P(B|A)==.
【答案】 B
教材整理2 相互独立事件
阅读教材P19“练习”以上部分,完成下列问题.
1.定义
对两个事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B),则称A,B相互独立.
2.性质
如果A,B相互独立,则A与,与B,与也相互独立.
3.如果A1,A2,…,An相互独立,则有P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).

甲袋中装有2个白球,2个黑球,乙袋中装有2个白球,4个黑球,从甲、乙两袋中各取一球均为白球的概率为(  )
A. 	B.
C. 	D.
【解析】 记“从甲袋中任取一球为白球”为事件A,“从乙袋中任取一球为白球”为事件B,则事件A,B是相互独立事件,故P(AB)=P(A)P(B)=×=.
【答案】 A
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:
解惑:___________________________________________________
疑问2:___________________________________________________
解惑:___________________________________________________
疑问3:___________________________________________________
解惑:___________________________________________________

[小组合作型]
,条件概率
 一个袋中有2个黑球和3个白球,如果不放回地抽取两个球,记事件“第一次抽到黑球”为A,事件“第二次抽到黑球”为B.
(1)分别求事件A,B,AB发生的概率;
(2)求P(B|A).
【精彩点拨】 解答本题可先求P(A),P(B),P(AB),再用公式P(B|A)=求概率.
【自主解答】 由古典概型的概率公式可知:
(1)P(A)=,
P(B)===,
P(AB)==.
(2)P(B|A)===.

用定义法求条件概率P(B|A)的步骤是:
(1)分析题意,弄清概率模型;
(2)计算P(A),P(AB);
(3)代入公式求P(B|A)=.

[再练一题]
1.一个家庭有两个小孩,假设生男生女是等可能的,已知这个家庭有一个是女孩的条件下,这时另一个也是女孩的概率是(  )
A.     	B.
C. 	D.
【解析】 一个家庭中有两个小孩只有4种可能:(男,男),(男,女),(女,男),(女,女).
记事件A为“其中一个是女孩”,事件B为“另一个是女孩”,则A={(男,女),(女,男),(女,女)},B={(男,女),(女,男),(女,女)},AB={(女,女)}.
于是可知P(A)=,P(AB)=.问题是求在事件A发生的情况下,事件B发生的概率,即求
P(B|A),由条件概率公式,得P(B|A)==.
【答案】 D
,事件独立性的判断
 判断下列各对事件是否是相互独立事件:
(1)甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”.
【精彩点拨】 利用相互独立事件的定义判断.
【自主解答】 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件.
(2)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为,若这一事件发生了,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”的概率为;若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为,可见,前一事件是否发生,对后一事件发生的概率有影响,所以二者不是相互独立事件.

判断两事件是否具有独立性的三种方法:
(1)定义法:直接判定两个事件发生是否相互影响.
(2)公式法:检验P(AB)=P(A)P(B)是否成立.
(3)条件概率法:当P(A)>0时,可用P(B|A)=P(B)判断.

[再练一题]
2.(1)甲、乙两名射手同时向一目标射击,设事件A:“甲击中目标”,事件B:“乙击中目标”,则事件A与事件B(  )
A.相互独立但不互斥
B.互斥但不相互独立
C.相互独立且互斥
D.既不相互独立也不互斥
(2)掷一枚正方体骰子一次,设事件A:“出现偶数点”,事件B:“出现3点或6点”,则事件A,B的关系是(  )
A.互斥但不相互独立
B.相互独立但不互斥
C.互斥且相互独立
D.既不相互独立也不互斥
【解析】 (1)对同一目标射击,甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的,所以事件A与B相互独立;对同一目标射击,甲、乙两射手可能同时击中目标,也就是说事件A与B可能同时发生,所以事件A与B不是互斥事件.
(2)事件A={2,4,6},事件B={3,6},事件AB={6},基本事件空间Ω={1,2,3,4,5,6}.
所以P(A)==,P(B)==,P(AB)==×,即P(AB)=P(A)P(B),因此,事件A与B相互独立.当“出现6点”时,事件A,B同时发生,所以A,B不是互斥事件.
【答案】 (1)A (2)B
[探究共研型]
,相互独立事件同时发生的概率
探究1 甲、乙同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5,求:甲、乙都未击中的概率.
【提示】 记A=“甲击中”,B=“乙击中”,C=“甲、乙都没有击中”.由题意,甲击中与否并不影响乙,由此可认为A与B是相互独立的,则,也是相互独立的,则
P(C)=P( )=P()·P()=(1-0.6)×(1-0.5)=0.2.
探究2 上述问题中如何求敌机被击中的概率?
【提示】 记D=“敌机被击中”,
则P(D)=1-P( )=1-0.2=0.8.
 某商场推出两次开奖活动,凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券.奖券上有一个兑奖号码,可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动.如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05,求两次抽奖中以下事件的概率: 
(1)都抽到某一指定号码;
(2)恰有一次抽到某一指定号码;
(3)至少有一次抽到某一指定号码.
【精彩点拨】 →
→
【自主解答】 设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A,“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B,则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB.
(1)由于两次抽奖结果互不影响,因此事件A与B相互独立.于是由独立性可得,两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.05×0.05=0.002 5.
(2)“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A)+(B)表示.由于事件A与B互斥,根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得,所求事件的概率为
P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)
=0.05×(1-0.05)+(1-0.05)×0.05=0.095.
即恰有一次抽到某一指定号码的概率为0.095.
(3)法一 “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用(AB)+(A)+(B)表示.由于事件AB,A和B两两互斥,根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得,所求事件的概率为
P(AB)+P(A)+P(B)=0.002 5+0.095=0.097 5.
法二 1-P( )=1-(1-0.05)2=0.097 5.
即至少有一次抽到某一指定号码的概率为0.097 5.

求P(AB)时注意事件A,B是否相互独立,求P(A+B)时同样应注意事件A,B是否互斥,对于“至多”、“至少”型问题的解法有两种思路:(1)分类讨论;(2)求对立事件,利用P()=1-P(A)来运算.

[再练一题]
3.甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为、.求:
(1)两个人都破译出密码的概率;
(2)两个人都破译不出密码的概率;
(3)恰有一人破译出密码的概率;
(4)至多一人破译出密码的概率;
(5)至少一人破译出密码的概率.
【解】 记事件A为“甲独立地破译出密码”,事件B为“乙独立地破译出密码”.
(1)两个人都破译出密码的概率为
P(AB)=P(A)P(B)=×=.
(2)两个人都破译不出密码的概率为
P( )=P()P()
=[1-P(A)][1-P(B)]
==.
(3)恰有一人破译出密码分为两类:甲破译出乙破译不出;乙破译出甲破译不出,即A+B,
P(A+B)=P(A)+P(B)
=P(A)P()+P()P(B)
=×+×=.
(4)至多一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码,1-P(AB)=1-=.
(5)至少一人破译出密码的对立事件为两人都没有破译出密码,1-P( )=1-=.
[构建·体系]


1.已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)等于(  )
A.  	B.  
C.  	D.
【解析】 由P(B|A)=,得P(AB)
=P(B|A)·P(A)=×=.
【答案】 C
2.一件产品要经过两道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a,第二道工序的次品率为b,则产品的正品率为(  )
A.1-a-b 	B.1-ab
C.(1-a)(1-b) 	D.1-(1-a)(1-b)
【解析】 2道工序相互独立,
产品的正品率为(1-a)(1-b).
【答案】 C
3.把一枚硬币投掷两次,事件A={第一次出现正面},B={第二次出现正面},则P(B|A)等于________.
【解析】 P(AB)=,P(A)=,P(B|A)==.
【答案】 
4.在同一时间内,两个气象台预报天气准确的概率分别为,,两个气象台预报准确的概率互不影响,则在
同一时间内,至少有一个气象台预报准确的概率为________.
【解析】 P=1-=.
【答案】 
5.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯,汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是为,,,求汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率.
【解】 设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=.
停车一次即为事件BC+AC+AB,
故概率为P=××+××+××=.

我还有这些不足:
(1) ___________________________________
(2) ___________________________________
我的课下提升方案:
(1) ___________________________________
(2) ___________________________________

学业分层测评(二) 
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.两人打靶,甲击中的概率为0.8,乙击中的概率为0.7,若两人同时射击一目标,则它们都中靶的概率是(  )
A.0.56  	B.0.48  
C.0.75  	D.0.6
【解析】 设甲击中为事件A,乙击中为事件B.
A,B相互独立,则P(AB)=P(A)·P(B)=0.8×0.7=0.56.
【答案】 A
2.下列说法正确的是(  )
A.P(B|A)<P(AB)
B.P(B|A)=是可能的
C.0<P(B|A)<1
D.P(A|A)=0
【解析】 由条件概率公式P(B|A)=及0<P(A)≤1知P(B|A)≥P(AB),故A选项错误;当事件A包含事件B时,有P(AB)=P(B),此时P(B|A)=,故B选项正确,由于0≤P(B|A)≤1,P(A|A)=1,故C,D选项错误.故选B.
【答案】 B
3.某人忘记了一个电话号码的最后一个数字,只好任意去试拨,他第一次失败、第二次成功的概率是(  )
A. 	B.
C. 	D.
【解析】 某人第一次失败,第二次成功的概率为P==,所以选A.
【答案】 A
4.一袋中装有5只白球和3只黄球,在有放回地摸球中,用A1表示第一次摸得白球,A2表示第二次摸得白球,则事件A1与是(  )
A.相互独立事件 	B.不相互独立事件
C.互斥事件 	D.对立事件
【解析】 由题意可得表示“第二次摸到的不是白球”,即表示“第二次摸到的是黄球”,由于采用有放回地摸球,故每次是否摸到黄球或白球互不影响,故事件A1与是相互独立事件.
【答案】 A
2.如图1­2­1,A,B,C表示3种开关,若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7,那么系统的可靠性是(  )

图1­2­1
A.0.504 	B.0.994
C.0.496 	D.0.06
【解析】 系统可靠即A,B,C 3种开关至少有一个能正常工作,则P=1-[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]
=1-(1-0.9)(1-0.8)(1-0.7)
=1-0.1×0.2×0.3=0.994.
【答案】 B
二、填空题
6.将两枚均匀的骰子各掷一次,已知点数不同,则有一个是6点的概率为________.
【解析】 设掷两枚骰子点数不同记为事件A,有一个是6点记为事件B.则P(B|A)==.
【答案】 
7.明天上午李明要参加奥运志愿者活动,为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己,假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________.
【解析】 设A=“两个闹钟至少有一个准时响”,
P(A)=1-P()=1-(1-0.80)×(1-0.90)
=1-0.2×0.1=0.98.
【答案】 0.98
8.如图1­2­2,四边形EFGH是以O为圆心,半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”.则: 

图1­2­2
 (1)P(A)=________;
(2)P(B|A)=________.
【解析】 正方形的面积为2,圆的面积为π.
(1)A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,
P(A)=.
(2)B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,
P(AB)=,
P(B|A)==.
【答案】 (1) (2)
三、解答题
9.有红色、蓝色两颗骰子,设事件A为“抛红骰子所得点数为偶数”,设事件B为“抛蓝骰子所得点数大于4”,求在事件A发生的条件下,事件B发生的概率.
【解】 画示意图如图所示,横轴表示抛红骰子所得点数,纵轴表示抛蓝骰子所得点数.

P(A)==,
P(A∩B)==,
P(B|A)===.
则在事件A发生的条件下,事件B发生的概率为.
10.集合A={1,2,3,4,5,6},甲、乙两人各从A中任取一个数,若甲先取,乙后取,在甲抽到奇数的条件下,求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.
【解】 将甲抽到数字a,乙抽到数字b,记作(a,b),则所有可能的抽取结果为:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),共30个.
其中甲抽到奇数的情形有15个,在这15个数中,乙抽到的数比甲抽到的数大的有9个,
所以所求概率P==.
[能力提升]
1.从甲口袋内摸出1个白球的概率是,从乙口袋内摸出1个白球的概率是,从两个口袋内各摸出1个球,那么等于(  )
A.2个球都是白球的概率
B.2个球都不是白球的概率
C.2个球不都是白球的概率
D.2个球中恰有1个是白球的概率
【解析】 记从甲口袋内摸出1个白球为事件A,从乙口袋内摸出1个白球为事件B,则A,B是独立事件,于是P(AB)=P(A)P(B)=×=,它表示从甲、乙口袋中摸出来的都是白球,故为2个球不都是白球的概率.
【答案】 C
2.如图1­2­3,已知电路中4个开关闭合的概率都是且互相独立,灯亮的概率为(  )

图1­2­3
A.       	B.
C. 	D.
【解析】 因为灯不亮的概率为××
=,所以灯亮的概率为1-=.
【答案】 C
3.从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次,每次抽1张,已知第1次抽到A,则第2次也抽到A的概率为________.
【解析】 设第1次抽到A为事件M,第2次也抽到A为事件N,则MN表示两次都抽到A,
P(M)==,
P(MN)==,
P(N|M)==.
【答案】 
4.在社会主义新农村建设中,某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目,据预测,三个项目成功的概率分别为,,,且三个项目是否成功互相独立.
(1)求恰有两个项目成功的概率;
(2)求至少有一个项目成功的概率.
【解】 (1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为
××=,
只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为
××=,
只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为
××=,
恰有两个项目成功的概率为
++=.
(2)三个项目全部失败的概率为
××=,
至少有一个项目成功的概率为1-=.













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