邯郸市2017届高三教学质量检测
数学试卷（文科）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．复数等于
A．7＋i B．7－i C．7＋7i D．－7＋7i
2．设集合A＝{x|（x＋1）（4－x）＞0}，B＝{x|0＜x＜9}，则A∩B等于
A．（0，4） B．（4，9） C．（－1，4） D．（－1，9）
3．若球O的半径为4，且球心O到平面α的距离为，则平面α截球O所得截面圆的面积为
A．π B．10π C．13π D．52π
4．命题P:x∈R，tanx＞1．命题q：抛物线的焦点到准线的距离为．那么下列命题为真命题的是
A． B．（）∨q C．p∧q D．p∧（）
5．已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝3且Sn＋1＝2Sn，则a4等于
A．6 B．12 C．16 D．24
6．若a＝log1664，b＝lg0.2，c＝20.2，则
A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a
7．若tan（α＋80°）＝4sin420°，则tan（α＋20°）的值为
A．
B．
C．
D．
8．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为Na（mod m），例如102（mod 4）．
下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的i等于
A．4 B．8 C．16 D．32
9．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A．6
B．9
C．12
D．18
10．设x，y满足约束条件若a∈[－2，9]，则z＝ax＋y仅在点（，）处取得最大值的概率为
A．
B．
C．
D．
11．已知定义在R上的奇函数f（x）在[0，＋∞）上递减，若f（x3－2x＋a）＜f（x＋1）对x∈[－1，2]恒成立，则a的取值范围为
A．（－3，＋∞） B．（－∞，－3） C．（3，＋∞） D．（－∞，3）
12．已知ω＞0，a＞0，，，这3个函数在同一直角坐标系中的部分图象如下图所示，则函数g（x）＋h（x）的图象的一条对称轴方程可以为
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题．将答案填在答题卡中的横线上）
13．已知函数则f（f（2））＝________．
14．已知向量，，若，则m的取值范围为________．
15．在公差大于1的等差数列{an}中，已知，a2＋a3＋a10＝36，则数列{|an|}的前20项和为________．
16．直线y＝2b与双曲线（a＞0，b＞0）的左支、右支分别交于B、C两点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOC＝∠BOC，则该双曲线的离心率为________．
三、解答题（本大题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知2sin2A＋sin2B＝sin2C．
（1）若b＝2a＝4，求△ABC的面积；
（2）若，，求△ABC的周长．
18．已知某企业近3年的前7个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示：
（1）试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润最高？
（2）通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；
（3）试以第3年的前4个月的数据（如下表），用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润．
月份x 1 2 3 4 利润y（单位：百万元） 4 4 6 6 相关公式：，．
19．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋pn，且a2，a5，a10成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．
20．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，AB＝AP＝3，AD＝PB＝2，E为线段AB上一点，且AE︰EB＝7︰2，点F、G分别为线段PA、PD的中点．
（1）求证：PE⊥平面ABCD；
（2）若平面EFG将四棱锥P－ABCD分成左右两部分，求这两部分的体积之比．
21．已知椭圆C：（a＞b＞1）的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为，过椭圆C的右焦点作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中点为P．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P垂直于AB的直线与2轴交于点D（，0），求k的值．
22．已知函数（a≥0）．
（1）当a＝3时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）当函数f（x）有极值时，若对，恒成立，求实数a的取值范围．
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数学试卷参考答案（文科）
1．A
2．A
3．C
4．D
5．B
6．D
7．D
8．C
9．B
10．B
11．C
12．C
13．－1
14．（7，＋∞）
15．812
16．
17．解：（1）由正弦定理可得2a2＋b2＝c2，
∵b＝2a＝4，∴，
由余弦定理可得，∴．
∴△ABC的面积为．
（2）由余弦定理可得，∴a＝b．
∴．c2＝3a2＝3，∴a＝b＝1，
∴△ABC的周长为．
18．解：（1）由折线图可知5月和6月的平均利润最高．
（2）第1年前7个月的总利润为1＋2＋3＋5＋6＋7＋4＝28（百万元），
第2年前7个月的总利润为2＋5＋5＋4＋5＋5＋5＝31（百万元），
第3年前7个月的总利润为4＋4＋6＋6＋7＋6＋8＝41（百万元），
∴这3年的前7个月的总利润呈上升趋势．
（3）∵，，12＋22＋32＋42＝30，1×4＋2×4＋3×6＋4×6＝54，
∴，
∴，
∴，
当x＝8时，（百万元），∴估计8月份的利润为940万元．
19．解：（1）当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1＋p．
当n＝1时，a1＝S1＝1＋p，也满足an＝2n－1＋p，故an＝2n－1＋p．
∵a2，a5，a10成等比数列∴（3＋p）（19＋p）＝（9＋p）2，∴p＝6，
∴an＝2n＋5．
（2）由（1）可得，
∴．
20．（1）证明：在等腰△APB中，，
则由余弦定理可得，∴．
∴PE2＋BE2＝4＝PB2，∴PE⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，
∴PE⊥平面ABCD．
（2）解：设平面EFG与棱CD交于点N，连接EN，因为CF∥AD，所以GF∥平面ABCD，从而可得EN∥AD．
延长FG至点M，使GM＝GF，连接DM，MN，则AFE－DMN为直三棱柱．
∵F到AE的距离为，，
∴，
∴，，
∴．
又，
∴．
21．解：（1）过短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为，设右焦点的坐标为（c，0），依题意知，
，又b＞1，
解得a＝2，，c＝1，
∴椭圆C的方程为．
（2）设过椭圆C的右焦点的直线l的方程为y＝k（x－1），
将其代入中得，（3＋4k2）x2－8k2x＋4k2－12＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，
∴，
∵P为线段AB的中点，
∴点P的坐标为（，）
又直线PD的斜率为，
直线PD的方程为，
令y＝0得，，由点D的坐标为（，0），
则，解得k＝±1．
22．解：（1）当a＝3时，，∴．
（2）（x＞0），
令g（x）＝x2＋（2－a）x＋1，
①当0≤a≤4时，Δ＝（2－a）2－4≤0，g（x）≥0，即f′（x）≥0，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增．
②当a＞4时，Δ＞0，令f′（x）＝0，则，
在（0，）和（，＋∞）上，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；在（，）上，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
（3）由（1）可知，当a＞4时，函数f（x）在（0，＋∞）上有极值．
可化为ax3≤x－1－lnx＋2016x3，
∵x＞0，∴，
设h（x）＝x－1－lnx（x＞0），则，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；当x＞1时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．
∴当x＞0时，h（x）≥h（1）＝0，∴，所以a≤2016．
又∵a＞4，∴4＜a≤2016，即a的取值范围是（4，2016]．
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