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湖北省黄冈市2016-2017学年高一下学期期末考试数学(理)试卷(含解析)

资料类别: 数学/试题

所属版本: 通用

所属地区: 湖北

上传时间:2017/8/16

下载次数:162次

资料类型:期中/期末

文档大小:522KB

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2016-2017学年湖北省黄冈市高一(下)期末数学试卷(理科)
 
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列结论正确的是(  )
A.若ab,则ac2bc2	B.若a2b2,则ab
C.若ab,c0,则ac<b+c	D.若<,则ab
2.设数列an}是等差数列,若a2a4+a6=12,则a1a2+…+a7等于(  )
A.14	B.21	C.28	D.35
3.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是(  )
A.若lm,mα,则lα	B.若lα,lm,则mα
C.若lα,mα,则lm	D.若lα,mα,则lm
4.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则的值为(  )
A.﹣	B.	C.1	D.
5.已知等比数列an}中,a3=2,a4a6=16,则=(  )
A.2	B.4	C.8	D.16
6.从点(2,3)射出的光线沿斜率k=的方向射到y轴上,则反射光线所在的直线方程为(  )
A.x2y﹣4=0	B.2xy﹣1=0	C.x6y﹣16=0	D.6xy﹣8=0
7.若α,β为锐角,且满足cosα=,cos(αβ)=,则sinβ的值为(  )
A.﹣	B.	C.	D.
8.若动点A(x1,y2)、B(x2,y2)分别在直线l1:xy﹣11=0和l2:xy﹣1=0上移动,则AB中点M所在直线方程为(  )
A.x﹣y﹣6=0	B.xy+6=0	C.x﹣y6=0	D.xy﹣6=0
9.已知某几何体的三视图如图所示,其中,正(主)视图,侧(左)视图均是由三角形与半圆构成,俯视图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为(  )

A.	B.	C.	D.
10.将正偶数集合2,4,6,…从小到大按第n组有2n个偶数进行分组:2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,…,则2018位于(  )组.
A.30	B.31	C.32	D.33
11.已知实数x,y满足,则ω=的取值范围是(  )
A.﹣1,]	B.﹣,]	C.﹣,1)	D.﹣,)
12.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,F是侧面BCC1B1内的动点,且A1F平面D1AE,则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是(  )

A.t|}	B.t|≤t≤2}	C.t|2}	D.t|2}
 
二、填空题(每小题5分,本题共20分)
13.若关于x的不等式ax2﹣6xa2<0的解集是(1,m),则m=     .
14.若,则tan2α=     .
15.若ABC的面积为,BC=2,C=60°,则边AB的长度等于     .
16.已知不等式组表示的平面区域为D,则
(1)z=x2y2的最小值为     .
(2)若函数y=2x﹣1m的图象上存在区域D上的点,则实数m的取值范围是     .
 
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.在平面直角坐标系内,已知A(1,a),B(﹣5,﹣3),C(4,0);
(1)当a(,3)时,求直线AC的倾斜角α的取值范围;
(2)当a=2时,求ABC的BC边上的高AH所在直线方程l.
18.在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边, =,且ac=2.
(1)求角B;
(2)求边长b的最小值.
19.已知A(4,﹣3),B(2,﹣1)和直线l:4x3y﹣2=0.
(1)求在直角坐标平面内满足PA|=|PB|的点P的方程;
(2)求在直角坐标平面内一点P满足PA|=|PB|且点P到直线l的距离为2的坐标.
20.如图所示的多面体,它的正视图为直角三角形,侧视图为正三角形,俯视图为正方形(尺寸如图所示),E为VB的中点.

(1)求证:VD平面EAC;
(2)求二面角A﹣VB﹣D的余弦值.
21.某投资公司计划投资A,B两种金融产品,根据市场调查与预测,A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1=18﹣,B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2= (注:利润与投资金额单位:万元).
(1)该公司已有100万元资金,并全部投入A,B两种产品中,其中x万元资金投入A产品,试把A,B两种产品利润总和表示为x的函数,并写出定义域;
(2)在(1)的条件下,试问:怎样分配这100万元资金,才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?
22.已知曲线f(x)=(x0)上有一点列Pn(xn,yn)(nN*),过点Pn在x轴上的射影是Qn(xn,0),且x1x2+x3+…+xn=2n+1﹣n﹣2.(nN*)
(1)求数列xn}的通项公式;
(2)设四边形PnQnQn1Pn+1的面积是Sn,求Sn;
(3)在(2)条件下,求证: ++…+<4.
 

2016-2017学年湖北省黄冈市高一(下)期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
 
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列结论正确的是(  )
A.若ab,则ac2bc2	B.若a2b2,则ab
C.若ab,c0,则ac<b+c	D.若<,则ab
【考点】71:不等关系与不等式.
【分析】对于A,B举反例即可,对于C,D根据不等式的性质可判断
【解答】解:对于A:当c=0时,不成立,
对于B:当a=﹣2,b=1时,则不成立,
对于C:根据不等式的基本性质可得若ab,c0,则ac>b+c,故C不成立,
对于D:若<,则ab,成立,
故选:D
 
2.设数列an}是等差数列,若a2a4+a6=12,则a1a2+…+a7等于(  )
A.14	B.21	C.28	D.35
【考点】85:等差数列的前n项和.
【分析】利用等差数列的通项公式性质及其求和公式即可得出.
【解答】解:数列an}是等差数列,a2a4+a6=12,
3a4=12,解得a4=4.
则a1a2+…+a7=7a4=28.
故选:C.
 
3.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是(  )
A.若lm,mα,则lα	B.若lα,lm,则mα
C.若lα,mα,则lm	D.若lα,mα,则lm
【考点】LS:直线与平面平行的判定.
【分析】根据题意,依次分析选项:A,根据线面垂直的判定定理判断.C:根据线面平行的判定定理判断.D:由线线的位置关系判断.B:由线面垂直的性质定理判断;综合可得答案.
【解答】解:A,根据线面垂直的判定定理,要垂直平面内两条相交直线才行,不正确;
C:lα,mα,则lm或两线异面,故不正确.
D:平行于同一平面的两直线可能平行,异面,相交,不正确.
B:由线面垂直的性质可知:平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面.故正确.
故选B

 
4.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则的值为(  )
A.﹣	B.	C.1	D.
【考点】HR:余弦定理;HP:正弦定理.
【分析】根据正弦定理,将条件进行化简即可得到结论.
【解答】解:3a=2b,b=,
根据正弦定理可得===,
故选:D.
 
5.已知等比数列an}中,a3=2,a4a6=16,则=(  )
A.2	B.4	C.8	D.16
【考点】8G:等比数列的性质.
【分析】设等比数列an}的公比为q,由于a3=2,a4a6=16,可得=2, =16,解得q2.可得=q4.
【解答】解:设等比数列an}的公比为q,a3=2,a4a6=16, =2, =16,
解得q2=2.
则==q4=4.
故选:B.
 
6.从点(2,3)射出的光线沿斜率k=的方向射到y轴上,则反射光线所在的直线方程为(  )
A.x2y﹣4=0	B.2xy﹣1=0	C.x6y﹣16=0	D.6xy﹣8=0
【考点】IQ:与直线关于点、直线对称的直线方程.
【分析】用点斜式求出入射光线方程,求出入射光线与反射轴y轴交点的坐标,再利用(2,3)关于y轴对称点(﹣2,3),在反射光线上,点斜式求出反射光线所在直线方程,并化为一般式.
【解答】解:由题意得,射出的光线方程为y﹣3=(x﹣2),即x﹣2y4=0,与y轴交点为(0,2),
又(2,3)关于y轴对称点为(﹣2,3),
反射光线所在直线过(0,2),(﹣2,3),
故方程为y﹣2=(x﹣0),即 x2y﹣4=0.
故选:A.
 
7.若α,β为锐角,且满足cosα=,cos(αβ)=,则sinβ的值为(  )
A.﹣	B.	C.	D.
【考点】GQ:两角和与差的正弦函数.
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、sin(αβ)的值,再利用两角和差的正弦公式求得sinβ=sin(αβ)﹣α的值.
【解答】解:α,β为锐角,且满足cosα=,cos(αβ)=,
sinα=,sin(αβ)=,
sinβ=sin[(αβ)﹣α=sin(αβ)cosα﹣cos(αβ)sinα=﹣=,
故选:B
 
8.若动点A(x1,y2)、B(x2,y2)分别在直线l1:xy﹣11=0和l2:xy﹣1=0上移动,则AB中点M所在直线方程为(  )
A.x﹣y﹣6=0	B.xy+6=0	C.x﹣y6=0	D.xy﹣6=0
【考点】J3:轨迹方程.
【分析】根据题意可推断出M点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l进而根据两直线方程求得M的轨迹方程.
【解答】解:由题意知,M点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l,故其方程为xy﹣6=0,
故选:D.
 
9.已知某几何体的三视图如图所示,其中,正(主)视图,侧(左)视图均是由三角形与半圆构成,俯视图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为(  )

A.	B.	C.	D.
【考点】L!:由三视图求面积、体积.
【分析】先由三视图还原成原来的几何体,再根据三视图中的长度关系,找到几何体中的长度关系,进而可以求几何体的体积.
【解答】解:由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥,下部分是半球,
所以根据三视图中的数据可得:
V=××
=,
故选C.

 
10.将正偶数集合2,4,6,…从小到大按第n组有2n个偶数进行分组:2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,…,则2018位于(  )组.
A.30	B.31	C.32	D.33
【考点】F1:归纳推理.
【分析】根据题意可分析第一组、第二组、第三组、…中的数的个数及最后的数,从中寻找规律即可使问题得到解决.
【解答】解:第一组有2=12个数,最后一个数为4;
第二组有4=22个数,最后一个数为12即2(24);
第三组有6=23个数,最后一个数为24,即2(24+6);
…
第n组有2n个数,其中最后一个数为2(24+…+2n)=4(12+3+…+n)=2n(n1).
当n=31时,第31组的最后一个数为231×32=1984,
当n=32时,第32组的最后一个数为232×33=2112,
2018位于第32组.
故选:C
 
11.已知实数x,y满足,则ω=的取值范围是(  )
A.﹣1,]	B.﹣,]	C.﹣,1)	D.﹣,)
【考点】7C:简单线性规划.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用直线的斜率公式,结合数形结合进行求解即可.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图,
ω的几何意义是区域内的点到定点D(﹣1,1)的斜率,
由图象知当直线和BC:x﹣y=0平行时,直线斜率最大,此时直线斜率为1,但取不到,
当直线过A(1,0)时,直线斜率最小,
此时AD的斜率k==,
则ω的范围是﹣,1),
故选:C

 
12.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,F是侧面BCC1B1内的动点,且A1F平面D1AE,则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是(  )

A.t|}	B.t|≤t≤2}	C.t|2}	D.t|2}
【考点】MI:直线与平面所成的角.
【分析】设平面AD1E与直线BC交于点G,连接AG、EG,则G为BC的中点.分别取B1B、B1C1的中点M、N,连接AM、MN、AN,可证出平面A1MN平面D1AE,从而得到A1F是平面A1MN内的直线.由此将点F在线段MN上运动并加以观察,即可得到A1F与平面BCC1B1所成角取最大值、最小值的位置,由此不难得到A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围.
【解答】解:设平面AD1E与直线BC交于点G,连接AG、EG,则G为BC的中点
分别取B1B、B1C1的中点M、N,连接AM、MN、AN,则
A1M∥D1E,A1M平面D1AE,D1E平面D1AE,
A1M∥平面D1AE.同理可得MN平面D1AE,
A1M、MN是平面A1MN内的相交直线
平面A1MN平面D1AE,
由此结合A1F平面D1AE,可得直线A1F平面A1MN,即点F是线段MN上上的动点.
设直线A1F与平面BCC1B1所成角为θ
运动点F并加以观察,可得
当F与M(或N)重合时,A1F与平面BCC1B1所成角等于A1MB1,此时所成角θ达到最小值,满足tanθ==2;
当F与MN中点重合时,A1F与平面BCC1B1所成角达到最大值,满足tanθ==2
A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围为2,2]
故选:D

 
二、填空题(每小题5分,本题共20分)
13.若关于x的不等式ax2﹣6xa2<0的解集是(1,m),则m= 2 .
【考点】74:一元二次不等式的解法.
【分析】由二次不等式的解集形式,判断出 1,m是相应方程的两个根,利用韦达定理求出m的值.
【解答】解:ax2﹣6xa2<0的解集是 (1,m),
a>0,
1,m是相应方程ax2﹣6xa2=0的两根,
解得 m=2;
故答案为:2.
 
14.若,则tan2α=  .
【考点】GU:二倍角的正切.
【分析】由条件可得tanα的值,再利用二倍角的正切公式,即可求得结论.
【解答】解:,
2(sinαcosα)=sinα﹣cosα
sinα=﹣3cosα
tanα=﹣3
tan2α===
故答案为:
 
15.若ABC的面积为,BC=2,C=60°,则边AB的长度等于 2 .
【考点】HP:正弦定理.
【分析】利用三角形面积公式列出关系式,把已知面积,a,sinC的值代入求出b的值,再利用余弦定理求出c的值即可.
【解答】解:ABC的面积为,BC=a=2,C=60°,
absinC=,即b=2,
由余弦定理得:c2=a2b2﹣2abcosC=44﹣4=4,
则AB=c=2,
故答案为:2
 
16.已知不等式组表示的平面区域为D,则
(1)z=x2y2的最小值为  .
(2)若函数y=2x﹣1m的图象上存在区域D上的点,则实数m的取值范围是  .
【考点】7C:简单线性规划.
【分析】由题意作平面区域,(1)利用目标函数的几何意义,求解z=x2y2的最小值;
(2)利用图形,求出图形中A,B,C坐标;化简y=2x﹣1m,从而确定最值.
【解答】解:由题意作不等式组平面区域如图:
(1)z=x2y2的最小值为图形中OP的距离的平方;
可得: =.
(2)
结合图象可知,,可得B(,),解得A(2,﹣1).当x时,
y=1m﹣2x,解得C(,)
x(,2时,y=2x﹣1m,m的范围在A,B,C之间取得,y=2x﹣1m,
经过A时,可得3m=﹣1,即m=﹣4,m有最小值为﹣4;
经过C可得,可得m=,即最大值为:;
经过B可得1﹣+m=,m=.
函数y=2x﹣1m的图象上存在区域D上的点,则实数m的取值范围:.
故答案为:,.

 
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.在平面直角坐标系内,已知A(1,a),B(﹣5,﹣3),C(4,0);
(1)当a(,3)时,求直线AC的倾斜角α的取值范围;
(2)当a=2时,求ABC的BC边上的高AH所在直线方程l.
【考点】IG:直线的一般式方程.
【分析】(1)求出AC的斜率,根据a的范围,求出AC的斜率的范围,从而求出倾斜角的范围即可;
(2)求出BC的斜率,根据垂直关系求出AH的斜率,代入点斜式方程即可求出l.
【解答】解:(1)KAC==﹣,
a(,3),则KAC(﹣1,﹣),
k=tanα,又α∈[0,π,
α∈(,);
(2)KBC==,
AH为高,AH⊥BC,
KAH•KBC=﹣1,
KAH=﹣3;
又l过点A(1,2),
l:y﹣2=﹣3(x﹣1),
即3xy﹣5=0.
 
18.在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边, =,且ac=2.
(1)求角B;
(2)求边长b的最小值.
【考点】HS:余弦定理的应用;HP:正弦定理.
【分析】(1)利用正弦定理化简表达式,求角B;个两角和与差的三角函数化简求解即可.
(2)利用余弦定理求边长b的最小值.推出b的表达式,利用基本不等式求解即可.
【解答】解:(1)在ABC中,由已知,
即cosCsinB=(2sinA﹣sinC)cosB,
sin(BC)=2sinAcosB,sinA=2sinAcosB,…4分
ABC 中,sinA0,
故. …6分.
(2)ac=2,
由(1),因此b2=a2c2﹣2accosB=a2c2﹣ac …9分
由已知b2=(ac)2﹣3ac=4﹣3ac …10分
…11分
故b 的最小值为1.…12分
 
19.已知A(4,﹣3),B(2,﹣1)和直线l:4x3y﹣2=0.
(1)求在直角坐标平面内满足PA|=|PB|的点P的方程;
(2)求在直角坐标平面内一点P满足PA|=|PB|且点P到直线l的距离为2的坐标.
【考点】IT:点到直线的距离公式.
【分析】(1)A(4,﹣3),B(2,﹣1),可得线段AB的中点M的坐标为(3,﹣2),又kAB=﹣1,即可得出线段AB的垂直平分线方程.
(2)设点P的坐标为(a,b),由于点P(a,b)在上述直线上,可得a﹣b﹣5=0.又点P(a,b)到直线l:4x3y﹣2=0的距离为2,可得=2,联立解出即可得出.
【解答】解:(1)A(4,﹣3),B(2,﹣1),
线段AB的中点M的坐标为(3,﹣2),又kAB=﹣1,
线段AB的垂直平分线方程为y2=x﹣3,
即点P的方程x﹣y﹣5=0.…
(2)设点P的坐标为(a,b),
点P(a,b)在上述直线上,a﹣b﹣5=0.
又点P(a,b)到直线l:4x3y﹣2=0的距离为2,
=2,即4a3b﹣2=10,…
联立可得或
所求点P的坐标为(1,﹣4)或.…
 
20.如图所示的多面体,它的正视图为直角三角形,侧视图为正三角形,俯视图为正方形(尺寸如图所示),E为VB的中点.

(1)求证:VD平面EAC;
(2)求二面角A﹣VB﹣D的余弦值.
【考点】MR:用空间向量求平面间的夹角;LS:直线与平面平行的判定.
【分析】(1)欲证VD平面EAC,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证VD与平面EAC内一直线平行即可,而连接BD交AC于O点,连接EO,由已知易得VDEO,VD平面EAC,EO平面EAC,满足定理条件;
(2)设AB的中点为P,则VP平面ABCD,建立坐标系,利用向量的夹角公式,可求二面角A﹣VB﹣D的余弦值.
【解答】(1)证明:由正视图可知:平面VAB平面ABCD
连接BD交AC于O点,连接EO,由已知得BO=OD,VE=EB
VD∥EO
又VD平面EAC,EO平面EAC
VD∥平面EAC;
(2)设AB的中点为P,则VP平面ABCD,建立如图所示的坐标系,
则=(0,1,0)
设平面VBD的法向量为

∴由,可得,可取=(,,1)
二面角A﹣VB﹣D的余弦值cosθ==


 
21.某投资公司计划投资A,B两种金融产品,根据市场调查与预测,A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1=18﹣,B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2= (注:利润与投资金额单位:万元).
(1)该公司已有100万元资金,并全部投入A,B两种产品中,其中x万元资金投入A产品,试把A,B两种产品利润总和表示为x的函数,并写出定义域;
(2)在(1)的条件下,试问:怎样分配这100万元资金,才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?
【考点】5D:函数模型的选择与应用.
【分析】(1)其中x万元资金投入A产品,则剩余的100﹣x(万元)资金投入B产品,根据A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1=18﹣,B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2=,可得利润总和;
(2)f(x)=40﹣﹣,x0,100,由基本不等式,可得结论.
【解答】解:(1)其中x万元资金投入A产品,则剩余的100﹣x(万元)资金投入B产品,
利润总和f(x)=18﹣+=38﹣﹣(x0,100).…
(2)f(x)=40﹣﹣,x0,100,
由基本不等式得:f(x)40﹣2=28,取等号,当且仅当=时,即x=20.…
答:分别用20万元和80万元资金投资A、B两种金融产品,可以使公司获得最大利润,最大利润为28万元.…
 
22.已知曲线f(x)=(x0)上有一点列Pn(xn,yn)(nN*),过点Pn在x轴上的射影是Qn(xn,0),且x1x2+x3+…+xn=2n+1﹣n﹣2.(nN*)
(1)求数列xn}的通项公式;
(2)设四边形PnQnQn1Pn+1的面积是Sn,求Sn;
(3)在(2)条件下,求证: ++…+<4.
【考点】8I:数列与函数的综合;8K:数列与不等式的综合.
【分析】(1)求出n=1时,x1=1;n2时,将n换为n﹣1,两式相减,即可得到所求通项公式;
(2)运用点满足函数式,代入化简,求出梯形的底和高,由梯形的面积公式,化简可得;
(3)求得:,运用数列的求和方法:裂项相消求和,化简即可得证.
【解答】解:(1)n=1时,x1=22﹣1﹣2=1,
n2时,x1x2+x3+…+xn﹣1=2n﹣(n﹣1)﹣2,
又x1x2+x3+…+xn=2n+1﹣n﹣2,
②﹣得:xn=2n﹣1(n=1仍成立)
故xn=2n﹣1;                                       
(2),
,又,,
故四边形PnQnQn1Pn+1的面积为:;
(3)证明:,
.
 












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