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湖南师大附中2018届高三上学期摸底考试(7月)数学(理)试卷

资料类别: 数学/试题

所属版本: 通用

所属地区: 湖南

上传时间:2017/9/29

下载次数:234次

资料类型:月考/阶段

文档大小:168KB

所属点数: 0

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炎德·英才大联考湖南师大附中2018届高三摸底考试
数 学(理科)时量:120分钟   满分:150分第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题每小题5分共60分在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合A==则A∩=()
(A){x|0≤x≤1}  (B){x|1≤x<2}(C){x|-1<x≤0}  (){x|0≤x<1}(2)在复平面内复数z所对应的点为则=()
(A)1  (B)  (C)  (D)
(3)记等差数列的前n项和为S若S=20=19则S=(A)23  (B)105  (C)115  (D)230

(4)如图在边长为1的正方形OABC中随机取一点 则此点恰好取自阴影部分的概率为()
(A)  (B)
(C)  (D)
(5)对于下列四个命题:(0,1),logx0>x0;:(0,+∞)<;:(0,+∞)>x;:,<x.
其中的真命题是(B)
(A)P1,P3  (B)P1,P4
(C)P2,P3  (D)P2,P4
(6)函数f(x)=(ω>0)的图象向右平移个单位得到函数y=g(x)的图象并且函数g(x)在区间上单调递增在区间上单调递减则实数ω的值为()
(A)1  (B)  (C)2  (D)10
(7)某几何体的三视图如下图其正视图中的曲线部分为半圆则该几何体的表面积为()

(A)(19+) cm2  (B)(22+4) cm2
(C)(13+6+4) cm2  (D)(10+6+4) cm2
(8)秦九韶是我国南宋时期的数学家普州(现四川省安岳县)人他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例若输入x的值为2则输出v的值为()

(A)210-1  (B)210(C)310-2(D)310
(9)已知抛物线C:y=8x的焦点为F准线为l是l上一点直线PF与曲线相交于M两点若=3则|MN|=()
(A)  (B)
(C)11  (D)10
(10)设等比数列的公比为q其前n项的积为T并且满足条件a-1>0<0,则使T成立的最大自然数n的值为()
(A)9  (B)10
(C)18  (D)19
(11)已知函数f(x)=x-2x+-其中为自然对数的底数若不等式f(3a2)+f(-2a-1)≤f(0)恒成立则实数a的取值范围为()
(A)  (B)
(C)  (D)
【解析】易知函数f(x)为奇函数又因为f′(x)=3x-2++-x所以函数f(x)为增函数原不等式转化为:f(3a)≤f(2a+1)-2a-1≤0解得:-≤a≤1所以答案选(12)如图在正方形ABCD中为AB的中点为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点设向量=λ+μ则λ+μ的取值范围为()

(A)
(B)
 (C)
(D)
【解析】以A为原点为x轴正方向为y轴正方向建立直角坐标系.设AB=1(cos θ,sin θ),θ∈,则=(1),==(),
由题意得解得μ=又λ=μ-1所以λ+μ=μ(+1)-1=-1.
设y=则y′=所以y=在上递增.所以:λ+μ∈选第Ⅱ卷二、填空题:本题共4小题每小题5分.(13)若(ax+)的展开式中x项的系数为80则实数a=__2__.(14)已知实数x满足约束条件则2x-y的取值范__[-1]__.(15)已知双曲线C:-=1(a>0)的左、右焦点分别为F为坐标原点点P是双曲线在第一象限内的点直线PO分别交双曲线C的左、右支于另一点M若|PF=2|PF且∠MF=120则双曲线的离心率为____.【解析】由题意=2|PF由双曲线的定义可得-|PF=2a所以|PF=4a=2a由四边形PF为平行四边形又∠MF=120可得∠F=120在三角形PF中由余弦定理可得=16a+4a-2·4a·2a·即有4c=20a+8a即c2=7a可得c=a即e=.(16)已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上且AB=AC=5=8底面ABC若G为△ABC的重心直线DG与底面ABC所成角的正切值为则球O的表面积为____.【解析】由题意可知=2=1==-=外接圆的直径为2r==设球O的半径为R==.球O的表面积为故答案为三、解答题:本题共6个小题满分70分.(17)(本小题满分10分)在△ABC中角A的对边分别为a满足2=.(Ⅰ)求角C的大小;(Ⅱ)若△ABC的面积为S=c求ab的最小值.【解析】(Ⅰ)由2=得=a2+b-c=-ab则==-故C=(Ⅱ)由△ABC的面积为S=c=ab=ab得c=2ab将其代入+b-c=-ab得+b-4a=-ab则4a-aba2+b2ab,所以ab≥当且仅当a=b==时取最小值.(18)(本小题满分12分)

如图几何体P-ABCD中底面ABCD为直角梯形侧面PAD为等边三角形且CD∥AB=90=DA=AB=1=.(Ⅰ)求证:面PAD⊥面ABCD;(Ⅱ)求二面角A-PB-C的平面角的余弦值.【解析】(Ⅰ)由于PA=1=3=则PB=PA+AB则BA⊥PA又∠DAB=90则BA⊥DA故BA⊥面PAD又BA面ABCD则面PAD⊥面ABCD.
(Ⅱ)取O为AD中点建立如图所示空间直角坐标系O-xyz.取E为PA中=为面PAB的法向量;再令n=(x)为面PBC的法向量由于=(1),=由得解得x=-=则n=而显然二面角A-PB-C为锐二面角(直接由CH与DE平行且相等知点H在△PAB的内部)故所求余弦值为==.(19)(本小题满分12分)近几年来我国电子商务行业发展迅猛年元旦期间某购物平台的销售业绩高达918亿人民币与此同时相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系现从评价系统中选出200次成功交易并对其评价进行统计对商品的好评0.6,对服务的好评率为0.75其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.(Ⅰ)完成商品和服务评价的2×2列联表并说明是否可以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为商品好评与服务好评有关?(Ⅱ)若将频率视为概率某人在该购物平台上进行的5次购物中设对商品和服务全好评的次数为随机变量X.(i)求对商品和服务全好评的次数X的分布列(概率用组合数算式表示);(ii)求X的数学期望和方差.参考数据及公式如下: P(K2≥k)	 0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001		 k	 2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828		(K2=其中n=a+b+c+d)【解析】(Ⅰ)由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表:对服务好评	对服务不满意	合计对商品好评	80	40	120对商品不满意	70	10	80合计	150	50	200得K=>10.828可以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为商品好评与服务好评有关.(Ⅱ)(i)每次购物时对商品和服务全好评的概率为0.4且X的取值可以是0~B(5).(X=0)=0.6;P(X=1)=·0.4·0.64;P(X=2)=·0.42·0.63;P(X=3)=·0.43·0.62;(X=4)=·0.44·0.6;P(X=5)=0.4的分布列为:·0.4·0.64	 C·0.42·0.63	 C·0.43·0.62	 C·0.44·0.6	 0.45		(ii)由于X~B则EX=5×0.4=2=5×0.4×0.6=1.2.(20)(本小题满分12分)已知等差数列满足:a=4-2a+2=0.(Ⅰ)求的通项公式;(Ⅱ)若数列满足:b=(-1)+n(n∈N),求的前n项和S【解(Ⅰ)令等差数列的公差为d由a=4-2a+2=0得解得a=2=2故的通项公式为a=2n(n∈N).bn=(-1)+n(n∈N),
①若n为偶数结合a-a-1=2得=(-a+a)+(-a+a)+…+(-a-1+a)+(1+2+…+n)=2·+=;若n为奇数则S=S-1+b=-2n+n=.(21)(本小题满分12分)已知A(-2),B(2,0)为椭圆C的左、右顶点为其右焦点是椭圆C上异于A的动点且△APB面积的最大值为2.(Ⅰ)求椭圆C的方程及离心率;(Ⅱ)直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D当点P在椭圆上运动时求证:以BD为直径的圆与直线PF恒相切.【解析】(Ⅰ)由题意可设椭圆C的方程为+=1 (a>b>0)(c,0).由题意知解得b==1.故椭圆C的方程为+=1离心率为.(Ⅱ)证明:由题意可设AP的方程为y=k(x+2)(k≠0).则点D坐标为(2, ),BD中点E的坐标为(2, ).由得(3+4k)x2+16k+16k-12=0.设点P的坐标为(x),则-2x=所以x==k(x+2)=  因为点F坐标为(1),
当k=±时点P的坐标为直线PF⊥x轴点D的坐标为(2).此时以BD为直径的圆(x-2)+(y)2=1与直线PF相切.当k≠±时则直线PF的斜率k==所以直线PF的方程为y=(x-1).点E到直线PF的距离d===2|k|.又因为|BD|=4|k|所以d=|BD|.故以BD为直径的圆与直线PF相切.综上得当点P在椭圆上运动时以BD为直径的圆与直线PF恒相切.(22)(本小题满分12分)设函数f(x)=a+(a-1)x.(Ⅰ)若f(x)存在最大值M且M>0求实数a的取值范围;(Ⅱ)令a=(x)=xf(x)+x-x+00解得:综上当a∈时(x)有最大值M>0.(Ⅱ)当a=时(x)=xf(x)+x-x+=x+x-x+.(x)=(+bx-1)由于00,即g(x)在(x+∞)上单调递增.故函数g(x)存在最小值m=g(x),结合g′(x)=0即=1-bx得=g(x)=x(1-bx)+x-x+=-x-x+<(1-x)<0.
综上得对任意的0
        
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