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河北省辛集中学2017-2018学年高二下学期第二次阶段考试数学试卷

资料类别: 数学/试题

所属版本: 通用

所属地区: 河北

上传时间:2018/6/29

下载次数:28次

资料类型:月考/阶段

文档大小:120KB

所属点数: 2

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2017-2018学年度第二学期第二次阶段考试
高二数学试题
                                             
一.选择题(共8小题)
1.对于定义在R上的奇函数f(x),满足f(﹣x)f(3x)=0,若f(﹣1)=1,则f(1)f(2)f(3)…+f(2015)=(  )
A.﹣1	B.0	C.1	D.2
2.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(x4)且f(3)=0,则方程f(x)=0在区间(0,10)内整数根有(  )
A.4个	B.5个	C.6个	D.7个
3.若定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(x2),且f(1)=0,则f(x)在区间(0,5上具有零点的最少个数是(  )
A.5	B.4	C.3	D.2
4.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)=﹣f(x),则,f(2016)的值为(  )
A.﹣1	B.0	C.1	D.2
5.对于定义在R上的奇函数f(x),满足f(x)=﹣f(x),则f(1)f(2)f(3)=(  )
A.0	B.﹣1	C.3	D.2
6.对任意的xR,定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x3)=﹣f(x4),则f(1000)=(  )
A.﹣1	B.1	C.0	D.1000
7.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(2﹣x),且f(﹣1)=2,则f(1)f(2)f(3)…+f(2017)的值为(  )
A.1	B.0	C.﹣2	D.2
8.已知定义在R上的函数f(x)满足:f(xy)=f(x)f(y)4xy(x,yR),f(1)=2.则f(﹣2)=(  )
A.2	B.4	C.8	D.16
二.填空题(共2小题)
9.定义在R上的奇函数f(x)对任意xR都有f(x)=f(x4),当x(﹣2,0)时,f(x)=2x,则f(2016)﹣f(2015)=     .
10.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x)=﹣f(x4),且在区间0,2上是增函数,则f(﹣17),f(27),f(64)的大小关系从小到大的排列顺序为     .
三.解答题(共小题)
11.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(x4),且x(0,2时,f(x)=.
(1)求f(x)在﹣2,2上的解析式;
(2)判断f(x)在0,2上的单调性,并给予证明;
(3)当λ为何值时,关于方程f(x)=λ在﹣2,2上有实数解?12.若函数f(x)对任意实数x.yR均有f(x)f(y)=f(xy),且当x0时,f(x)0,f(1)=﹣2;
(1)求证:f(x)为奇函数:
(2)求证:f(x)是R上的减函数:
(3)求f(x)在﹣3,4上的最大值和最小值:
(4)解不等f(x﹣4)f(2﹣x2)16.
13.若非零函数f(x)对任意实数x,y均有f(x)•f(y)=f(xy),且当x0时f(x)1.
(1)求证:f(x)0;
(2)求证:f(x)为R上的减函数;
(3)当时,对a﹣1,1时恒有,求实数x的取值范围.
14.已知函数f(x)的定义域为(0,),当x(0,1)时f(x)0,且x,y(0,)时总有f(x•y)=f(x)f(y)
(1)求证:f()=f(x)﹣f(y);
(2)证明:函数f(x)在定义域(0,)上为减函数;
(3)若f(3)=1,且f(a)f(a﹣1)2,求a的取值范围.
 
一.选择题(共8小题)
1.对于定义在R上的奇函数f(x),满足f(﹣x)f(3x)=0,若f(﹣1)=1,则f(1)f(2)f(3)…+f(2015)=(  )
A.﹣1	B.0	C.1	D.2
【分析】利用函数的奇偶性,以及函数的关系式,求出函数的周期,然后求解函数值即可.
【解答】解:定义在R上的奇函数f(x),满足f(﹣x)f(3x)=0,
可得f(x)=f(3x),所以函数的周期为3.
定义在R上的奇函数f(x),可知f(0)=0,
又f(﹣1)=1,
f(2)=f(﹣1)=1,f(1)=﹣f(﹣1)=﹣1.
f(1)f(2)f(3)=﹣11+0=0;
f(1)f(2)f(3)…+f(2015)=671(f(1)f(2)f(3))f(1)f(2)=0﹣11=0.
故选:B.
【点评】本题考查抽象函数的应用,函数的周期以及函数的奇偶性的应用,考查计算能力.
 
2.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(x4)且f(3)=0,则方程f(x)=0在区间(0,10)内整数根有(  )
A.4个	B.5个	C.6个	D.7个
【分析】由已知函数为奇函数,求出函数的周期为4可得f(0)=0f(4)=f(8)=0,由f(3)=0(7)=0,又f(﹣3)=0f(1)=f(5)=f(9)=0,从而可得结果.
【解答】解:由已知可知f(3)=0,
因为f(x)是R上的奇函数,所以f(﹣3)=﹣f(3)=0,f(0)=0,
又因为函数的周期为4,即f(x4)=f(x),
所以f(0)=f(4)=f(8)=0,f(3)=f(7)=0,f(﹣3)=f(1)=f(5)=f(9)=0,
所以方程f(x)=0在x(0,10)的根有 1,3,4,5,7,8,9,共7个.
故选:D.
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性、函数的单调性及函数周期的综合运用,解决本题的关键是熟练掌握函数的各个性质并能灵活运用性质,还要具备一定的综合论证的解题能力.
 
3.若定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(x2),且f(1)=0,则f(x)在区间(0,5上具有零点的最少个数是(  )
A.5	B.4	C.3	D.2
【分析】根据函数的奇偶性和周期性之间的关系,即可确定函数零点的个数.
【解答】解:f(x)=f(x2),
函数f(x)的周期是2.
f(1)=0,
f(1)=f(3)=f(5)=0,
f(x)定义在R上的奇函数,
f(0)=0,即f(0)=f(2)=f(4)=0,
在区间(0,5上的零点至少有1,2,3,4,5,
故选:A.
【点评】本题主要考查函数零点的个数的判断,利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键.
 
4.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)=﹣f(x),则,f(2016)的值为(  )
A.﹣1	B.0	C.1	D.2
【分析】根据题意,由奇函数的性质可得f(0)=0,进而由f(x)满足f(x2)=﹣f(x),可得f(x4)=﹣f(x2)=f(x),即函数f(x)是周期为4的函数,则有f(2016)=f(4504)=f(0),即可得答案.
【解答】解:根据题意,f(x)为R上的奇函数,则有f(0)=﹣f(0),
即f(0)=0,
f(x)满足f(x2)=﹣f(x),则有f(x4)=﹣f(x2)=f(x),
即函数f(x)是周期为4的函数,
则有f(2016)=f(4504)=f(0)=0;
故选:B.
【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及周期性的判断与应用,关键在于利用奇函数的性质求出f(0)的值.
 
5.对于定义在R上的奇函数f(x),满足f(x)=﹣f(x),则f(1)f(2)f(3)=(  )
A.0	B.﹣1	C.3	D.2
【分析】由已知中f(x)=﹣f(x),可得函数的周期为3,再由奇函数的性质可得f(3)=,f(0)=0,f(2)=﹣f(1),代入计算可得.
【解答】解:f(x)=﹣f(x),
f(x3)=﹣f(x)=f(x)
函数的周期为3,
又函数f(x)为R上的奇函数,
f(0)=0,
f(3)=(03)=f(0)=0,
f(2)=f(﹣13)=f(﹣1)=﹣f(1),
f(1)f(2)f(3)=f(1)﹣f(1)0=0
故选:A.
【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性,属基础题.
 
6.对任意的xR,定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x3)=﹣f(x4),则f(1000)=(  )
A.﹣1	B.1	C.0	D.1000
【分析】由题意可得,f(x)=﹣f(x1),故 f(x)=f(x2),即函数 f(x)是周期等于2的周期函数,故有f(1000)=f(0)=0.
【解答】解:定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x3)=﹣f(x4),
f(x)=﹣f(x1),f(x)=f(x2),即函数f(x)是周期等于2的周期函数.
f(1000)=f(0)=0,
故选:C.
【点评】本题主要考查函数的奇偶性和周期性,求函数的值,属于中档题.
 
7.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(2﹣x),且f(﹣1)=2,则f(1)f(2)f(3)…+f(2017)的值为(  )
A.1	B.0	C.﹣2	D.2
【分析】本题通过赋值法对f(2﹣x)=f(x)中的x进行赋值为2x,可得﹣f(x)=f(2x),可得到函数f(x)的周期为4,根据奇函数的性质得到f(0)=0,再通过赋值法得到f(1),f(2),f(3),f(4)的值,即可求解.
【解答】解:f(2﹣x)=f(x),f[2﹣(2x)=f(2x),即f(﹣x)=f(2x),即﹣f(x)=f(2x),
f(x4)=f(4x),故函数f(x)的周期为4.
定义在R上的奇函数f(x)满足f(2﹣x)﹣f(x)=0,且f(﹣1)=2,
f(0)=0,f(1)=﹣f(﹣1)=﹣2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(﹣1)=2,f(4)=f(0)=0,
f(1)f(2)f(3)…+f(2017)=504•f(1)f(2)f(3)f(4)f(2017)
=504(﹣20+2+0)f(1)=0(﹣2)=﹣2,
故选:C.
【点评】本题通过赋值法结合奇函数的性质,利用周期性和图象平移的知识即可求解,属于基础题.
 
8.已知定义在R上的函数f(x)满足:f(xy)=f(x)f(y)4xy(x,yR),f(1)=2.则f(﹣2)=(  )
A.2	B.4	C.8	D.16
【分析】先计算f(0)=0,再得出f(x)f(﹣x)﹣4x2=0,令g(x)=f(x)﹣2x2,则g(x)为奇函数,通过计算g(﹣2)得出f(﹣2)的值.
【解答】解:令x=y=0得f(0)=2f(0),f(0)=0,
再令y=﹣x,得f(0)=f(x)f(﹣x)﹣4x2=0,
令g(x)=f(x)﹣2x2,则g(x)g(﹣x)=f(x)f(﹣x)﹣4x2=0,
g(x)=f(x)﹣2x2是奇函数,
f(2)=2f(1)4=8,g(2)=f(2)﹣8=0,
g(﹣2)=f(﹣2)﹣8=0,
f(﹣2)=8.
故选:C.
【点评】本题考查了抽象函数的性质应用,奇函数的判断与性质,属于中档题.
 
二.填空题(共2小题)
9.定义在R上的奇函数f(x)对任意xR都有f(x)=f(x4),当x(﹣2,0)时,f(x)=2x,则f(2016)﹣f(2015)= ﹣ .
【分析】求出函数的周期,利用函数的周期以及函数的奇偶性,转化求解函数值即可.
【解答】解:对任意xR都有f(x)=f(x4),可知函数的周期为:4.
当x(﹣2,0)时,f(x)=2x,在R上的奇函数f(x),f(0)=0,
则f(2016)﹣f(2015)=f(0)﹣f(﹣1)=0﹣2﹣1=﹣.
故答案为:.
【点评】本题考查抽象函数的应用,函数的奇偶性的应用,考查计算能力.
 
10.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x)=﹣f(x4),且在区间0,2上是增函数,则f(﹣17),f(27),f(64)的大小关系从小到大的排列顺序为 f(﹣17),f(64),f(27) .
【分析】先由f(x)是奇函数且f(x4)=﹣f(x)转化得到f(x8)=f(x),然后按照条件,将问题转化到区间0,2上应用函数的单调性进行比较.
【解答】解:f(x)=﹣f(x4)
f(x8)=f(x)
f(x)是奇函数
f(﹣x)=﹣f(x),f(0)=0
f(﹣17)=f(﹣9)=f(﹣1)=﹣f(1)
f(27)=f(19)=f(11)=f(3)=﹣f(﹣1)=f(1)
f(64)=f(0)=0
f(x)在区间0,2上是增函数
f(1)0,﹣f(1)0
∴f(27)f(64)f(﹣17)
故答案为:f(﹣17),f(64),f(27)
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的综合运用,综合性较强,条件间结合与转化较大,属中档题.
 
三.解答题(共6小题)
11.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(x4),且x(0,2时,f(x)=.
(1)求f(x)在﹣2,2上的解析式;
(2)判断f(x)在0,2上的单调性,并给予证明;
(3)当λ为何值时,关于方程f(x)=λ在﹣2,2上有实数解?
【分析】(1)由条件可得函数的周期为4,设x﹣2,0),则﹣x(0,2,根据f(﹣x)===﹣f(x),求得f(x)=.再根据奇函数的定义可得f(0)=0,从而求得可得,f(x)在﹣2,2上的解析式.
(2)根据f(0)=0,当x(0,2时,由于f(x)=1﹣0,且f(x)随着x的增大而增大,可得f(x)在0,2上是增函数.再利用函数的单调性的定义进行证明.
(3)由题意可得,本题即求函数λ=f(x)在﹣2,2上的值域,再利用函数的单调性求得函数f(x)在﹣2,2上的值域.
【解答】解:(1)奇函数f(x)满足f(x)=f(x4),故函数的周期为4.
由于x(0,2时,f(x)=,设x﹣2,0),则﹣x(0,2,故 f(﹣x)===﹣f(x),
f(x)=.
再根据奇函数的定义可得f(0)=0,可得,f(x)在﹣2,2上的解析式为f(x)=.
(2)在0,2上,f(0)=0,当x(0,2时,由于f(x)==1﹣0,
且f(x)随着x的增大而增大,故f(x)在0,2上是增函数.
证明:设0x1<x2≤2,则由f(x1)﹣f(x2)=1﹣﹣1﹣=<0,可得f(x1)f(x2),
故f(x)在0,2上是增函数.
(3)由题意可得,本题即求函数λ=f(x)在﹣2,2上的值域.
利用函数的单调性求得函数f(x)在﹣2,2上的值域为 λ|y=0,或 λ≤,或﹣λ<﹣,
故λ的范围为:λ|y=0,或 λ≤,或﹣λ<﹣.
【点评】本题主要考查函数的周期性、单调性和奇偶性的应用,求函数的解析式和函数的值域,体现了转化的数学思想,属于基础题.
 
12. 若函数f(x)对任意实数x.yR均有f(x)f(y)=f(xy),且当x0时,f(x)0,f(1)=﹣2;
(1)求证:f(x)为奇函数:
(2)求证:f(x)是R上的减函数:
(3)求f(x)在﹣3,4上的最大值和最小值:
(4)解不等f(x﹣4)f(2﹣x2)16.
【分析】(1)先令x=y=0得f(0)=0,再令y=﹣x得f(﹣x)=﹣f(x);
(2)直接运用函数单调性的定义和作差法证明;
(3)运用单调性求函数的最值;
(4)应用函数的奇偶性和单调性解不等式.
【解答】解:(1)因为实数x,yR均有f(x)f(y)=f(xy),
令x=y=0得,f(0)f(0)=f(0),所以,f(0)=0,
再令y=﹣x得,f(0)=f(x)f(﹣x),所以,f(﹣x)=﹣f(x),
故f(x)为奇函数;
(2)任取x1,x2(﹣,),且x1x2,
f(x1)﹣f(x2)=f(x1﹣x2)(x2)﹣f(x2)
=f(x1﹣x2)f(x2)﹣f(x2)=f(x1﹣x2)
因为x1﹣x20,所以f(x1﹣x2)0,
因此,f(x1)f(x2),
故f(x)为R上的单调减函数;
(3)因为函数f(x)在R上单调递减,
所以,f(x)min=f(4),f(x)max=f(﹣3),
又因为f(1)=﹣2,所以f(4)=f(2)f(2)=4f(1)=﹣8,
f(﹣3)=﹣f(3)=﹣f(1)f(1)f(1)=6,
所以,函数在﹣3,4上的最大值为6,最小值为﹣8;
(4)因为f(8)=f(4)f(4)=﹣16,所以,f(﹣8)=16,
所以,原不等式可化为:f(x﹣4)(2﹣x2)f(﹣8),
即,(x﹣4)(2﹣x2)﹣8,
即x2﹣x﹣60,解得x﹣2,3,
即该不等式的解集为:﹣2,3.
【点评】本题主要考查了抽象函数奇偶性,单调性的判断和证明,以及应用函数的单调性和奇偶性确定函数的值域和解不等式,属于中档题.
 
14. 若非零函数f(x)对任意实数x,y均有f(x)•f(y)=f(xy),且当x0时f(x)1.
(1)求证:f(x)0;
(2)求证:f(x)为R上的减函数;
(3)当时,对a﹣1,1时恒有,求实数x的取值范围.
【分析】(1)根据抽象函数,利用赋值法证明f(x)0;
(2)根据函数单调性的定义证明f(x)为R上的减函数;
(3)利用函数单调性的性质,解不等式即可.
【解答】解:(1)证法一:f(0)•f(x)=f(x),
即f(x)f(0)﹣1=0,
又f(x)0,
f(0)=1
当x0时,f(x)1,
则﹣x0,
f(x)•f(﹣x)=f(0)=1,
则.
故对于xR恒有f(x)0.
证法二:,
f(x)为非零函数,
f(x)0
(2)令x1x2且x1,x2R,
有f(x1)•f(x2﹣x1)=f(x2),
又x2﹣x10,
即f(x2﹣x1)1
故,
又f(x)0,
f(x2)f(x1)
故f(x)为R上的减函数.
(3)故,
则原不等式可变形为f(x2﹣2ax2)f(2)
依题意有  x2﹣2ax0对a﹣1,1恒成立,
或x﹣2或x=0
故实数x的取值范围为(﹣,﹣20}∪[2,).
【点评】本题主要考查抽象函数的应用,以及函数单调性的定义,以及利用函数的单调性解不等式,考查学生的运算能力.
1.已知函数f(x)的定义域为(0,),当x(0,1)时f(x)0,且x,y(0,)时总有f(x•y)=f(x)f(y)
(1)求证:f()=f(x)﹣f(y);
(2)证明:函数f(x)在定义域(0,)上为减函数;
(3)若f(3)=1,且f(a)f(a﹣1)2,求a的取值范围.
【分析】(1)需要特别注意构造方法,x=y•即可.
(2)抽象函数的单调性证明需要特别注意构造方法,构造出(0,1),可应用已知得f()0,进而根据函数单调性的定义得到结论.
(3)根据若f(3)=1,f(9)=2,根据运算法以及单调性求得a的范围.
【解答】解:(1)证明:由题意得:
f(x)=f(y•)=f(y)f(),
故f()=f(x)﹣f(y).
(2)证明:设0x1<x2,
f(x1)=f()=f(x2)f(),
当x(0,1)时f(x)0,
∈(0,1),f()0,
f(x1)f(x2),
函数f(x)在定义域(0,)上为减函数;
(3)若f(3)=1,
f(9)=2,
f(a)f(a﹣1)f(9)=f(9(a﹣1)),
a>9(a﹣1),
1<a<.
【点评】本题考查抽象函数的运算法则以及单调性的证明和解不等式.
 













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