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【解析版】2018年高考全国Ⅱ卷文数试题

资料类别: /试题

所属版本: 通用

所属地区: 全国

上传时间:2018/7/2

下载次数:101次

资料类型:历年高考题

文档大小:812KB

所属点数: 0

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2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时,将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 
A.     B.     C.     D. 
【答案】D
【解析】分析:根据公式,可直接计算得
详解: ,故选D.
点睛:复数题是每年高考的必考内容,一般以选择或填空形式出现,属简单得分题,高考中复数主要考查的内容有:复数的分类、复数的几何意义、共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,在解决此类问题时,注意避免忽略中的负号导致出错.
2. 已知集合,,则
A.     B.     C.     D. 
【答案】C
【解析】分析:根据集合可直接求解.
详解:,
,
故选C
点睛:集合题也是每年高考的必考内容,一般以客观题形式出现,一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式,如果是“离散型”集合可采用Venn图法解决,若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.
3. 函数的图像大致为

A. A    B. B    C. C    D. D
【答案】B
【解析】分析:通过研究函数奇偶性以及单调性,确定函数图像.
详解:为奇函数,舍去A,
舍去D;
,
所以舍去C;因此选B.
点睛:有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由函数的定义域,判断图象左右的位置,由函数的值域,判断图象的上下位置;②由函数的单调性,判断图象的变化趋势;③由函数的奇偶性,判断图象的对称性;④由函数的周期性,判断图象的循环往复. 
4. 已知向量,满足,,则
A. 4    B. 3    C. 2    D. 0
【答案】B
【解析】分析:根据向量模的性质以及向量乘法得结果.
详解:因为
所以选B.
点睛:向量加减乘: 
5. 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为
A.     B.     C.     D. 
【答案】D
【解析】分析:分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能,代入概率公式可求得概率.
详解:设2名男同学为,3名女同学为,
从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能,
选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能
则选中的2人都是女同学的概率为,
故选D.
点睛:应用古典概型求某事件的步骤:第一步,判断本试验的结果是否为等可能事件,设出事件;第二步,分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数;第三步,利用公式求出事件的概率.
6. 双曲线的离心率为,则其渐近线方程为
A.     B.     C.     D. 
【答案】A
【解析】分析:根据离心率得a,c关系,进而得a,b关系,再根据双曲线方程求渐近线方程,得结果.
详解:
因为渐近线方程为,所以渐近线方程为,选A.
点睛:已知双曲线方程求渐近线方程:.
7. 在中,,,,则
A.     B.     C.     D. 
【答案】A
【解析】分析:先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.
详解:因为
所以,选A.
点睛:解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.
8. 为计算,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】B
【解析】分析:根据程序框图可知先对奇数项累加,偶数项累加,最后再相减.因此累加量为隔项.
详解:由得程序框图先对奇数项累加,偶数项累加,最后再相减.因此在空白框中应填入,选B.
点睛:算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项.




9. 在正方体中,为棱的中点,则异面直线与所成角的正切值为
A.     B.     C.     D. 
【答案】C
【解析】分析:利用正方体中,,将问题转化为求共面直线与所成角的正切值,在中进行计算即可.
详解:在正方体中,,
所以异面直线与所成角为,
设正方体边长为,
则由为棱的中点,可得,
所以
则.
故选C.

点睛:求异面直线所成角主要有以下两种方法:
(1)几何法:①平移两直线中的一条或两条,到一个平面中;②利用边角关系,找到(或构造)所求角所在的三角形;③求出三边或三边比例关系,用余弦定理求角.
(2)向量法:①求两直线的方向向量;②求两向量夹角的余弦;③因为直线夹角为锐角,所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.
10. 若在是减函数,则的最大值是
A.     B.     C.     D. 
【答案】C
【解析】分析:先确定三角函数单调减区间,再根据集合包含关系确定的最大值
详解:因为,
所以由得
因此,从而的最大值为,选A.
点睛:函数的性质: 
(1). (2)周期 (3)由 求对称轴, (4)由求增区间; 
由求减区间.
11. 已知,是椭圆的两个焦点,是上的一点,若,且,则的离心率为
A.     B.     C.     D. 
【答案】D
【解析】分析:设,则根据平面几何知识可求,再结合椭圆定义可求离心率.
详解:在中,
设,则,
又由椭圆定义可知
则离心率,
故选D.
点睛:椭圆定义的应用主要有两个方面:一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆,二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等;“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点,在解决这类问题时经常会用到正弦定理,余弦定理以及椭圆的定义.
12. 已知是定义域为的奇函数,满足.若,则 
A.     B. 0    C. 2    D. 50
【答案】C
【解析】分析:先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期,再根据周期以及对应函数值求结果.
详解:因为是定义域为的奇函数,且,
所以,
因此,
因为,所以,
,从而,选C.
点睛:函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。、
13. 曲线在点处的切线方程为__________.
【答案】y=2x–2
【解析】分析:求导,可得斜率,进而得出切线的点斜式方程.
详解:由,得
则曲线在点处的切线的斜率为,
则所求切线方程为,即.
点睛:求曲线在某点处的切线方程的步骤:①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率;②写出切线的点斜式方程;③化简整理.
14. 若满足约束条件 则的最大值为__________.
【答案】9
【解析】分析:作出可行域,根据目标函数的几何意义可知当时,.


点睛:线性规划问题是高考中常考考点,主要以选择及填空的形式出现,基本题型为给出约束条件求目标函数的最值,主要结合方式有:截距型、斜率型、距离型等.
15. 已知,则__________.
【答案】
【解析】分析:利用两角差的正切公式展开,解方程可得.
详解:,
解方程得.
点睛:本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况,属于简单题型,解决此类问题的核心是要公式记忆准确,特殊角的三角函数值运算准确.
16. 已知圆锥的顶点为,母线,互相垂直,与圆锥底面所成角为,若的面积为,则该圆锥的体积为__________.
【答案】8π
【解析】分析:作出示意图,根据条件分别求出圆锥的母线,高,底面圆半径的长,代入公式计算即可.
详解:如下图所示,
又,
解得,所以,
所以该圆锥的体积为.

点睛:此题为填空题的压轴题,实际上并不难,关键在于根据题意作出相应图形,利用平面几何知识求解相应线段长,代入圆锥体积公式即可.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17. 记为等差数列的前项和,已知,.
    (1)求的通项公式;
    (2)求,并求的最小值.
【答案】解:
(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=–15.
由a1=–7得d=2.
所以{an}的通项公式为an=2n–9.
(2)由(1)得Sn=n2–8n=(n–4)2–16.
所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为–16.
【解析】分析:(1)根据等差数列前n项和公式,求出公差,再代入等差数列通项公式得结果,(2)根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式,根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.
详解:(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=–15.
由a1=–7得d=2.
所以{an}的通项公式为an=2n–9.
(2)由(1)得Sn=n2–8n=(n–4)2–16.
所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为–16.
点睛:数列是特殊的函数,研究数列最值问题,可利用函数性质,但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.
18. 下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位:亿元)的折线图.

    为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了与时间变量的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量的值依次为)建立模型①:;根据2010年至2016年的数据(时间变量的值依次为)建立模型②:.
    (1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
    (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
【答案】解:
(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
 =–30.4+13.5×19=226.1(亿元).
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
=99+17.5×9=256.5(亿元).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下:
(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.
以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
【解析】分析:(1)两个回归直线方程中无参数,所以分别求自变量为2018时所对应的函数值,就得结果,(2)根据折线图知2000到2009,与2010到2016是两个有明显区别的直线,且2010到2016的增幅明显高于2000到2009,也高于模型1的增幅,因此所以用模型2更能较好得到2018的预测.
详解:(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
 =–30.4+13.5×19=226.1(亿元).
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
=99+17.5×9=256.5(亿元).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下:
(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.
以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
点睛:若已知回归直线方程,则可以直接将数值代入求得特定要求下的预测值;若回归直线方程有待定参数,则根据回归直线方程恒过点求参数.
19. 如图,在三棱锥中,,,为的中点.
    (1)证明:平面;
    (2)若点在棱上,且,求点到平面的距离.

【答案】解:
(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=.
连结OB.因为AB=BC=,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB==2.
由知,OP⊥OB.
由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.

(2)作CH⊥OM,垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.
故CH的长为点C到平面POM的距离.
由题设可知OC==2,CM==,∠ACB=45°.
所以OM=,CH==.
所以点C到平面POM的距离为.
【解析】分析:(1)连接,欲证平面,只需证明即可;(2)过点作,垂足为,只需论证的长即为所求,再利用平面几何知识求解即可.
详解:(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=.
连结OB.因为AB=BC=,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB==2.
由知,OP⊥OB.
由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.

(2)作CH⊥OM,垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.
故CH的长为点C到平面POM的距离.
由题设可知OC==2,CM==,∠ACB=45°.
所以OM=,CH==.
所以点C到平面POM的距离为.
点睛:立体几何解答题在高考中难度低于解析几何,属于易得分题,第一问多以线面的证明为主,解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明;本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解,也可利用等体积法解决.
20. 设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点,.
    (1)求的方程;
    (2)求过点,且与的准线相切的圆的方程.
【答案】解:
(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x–1)(k>0).
设A(x1,y1),B(x2,y2).
由得.
 ,故.
所以.
由题设知,解得k=–1(舍去),k=1.
因此l的方程为y=x–1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为
,即.
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则
解得或
因此所求圆的方程为
或.

详解:(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x–1)(k>0).
设A(x1,y1),B(x2,y2).
由得.
 ,故.
所以.
由题设知,解得k=–1(舍去),k=1.
因此l的方程为y=x–1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为
,即.
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则
解得或
因此所求圆的方程为
或.
点睛:确定圆的方程方法
(1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心和半径有关,则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组,从而求出的值;
②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D、E、F的方程组,进而求出D、E、F的值.
21. 已知函数.
    (1)若,求的单调区间;
    (2)证明:只有一个零点.
【答案】解:
(1)当a=3时,f(x)=,f ′(x)=.
令f ′(x)=0解得x=或x=.
当x∈(–∞,)∪(,+∞)时,f ′(x)>0;
当x∈(,)时,f ′(x)<0.
故f(x)在(–∞,),(,+∞)单调递增,在(,)单调递减.
(2)由于,所以等价于.
设=,则g ′(x)=≥0,仅当x=0时g ′(x)=0,所以g(x)在(–∞,+∞)单调递增.故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.
又f(3a–1)=,f(3a+1)=,故f(x)有一个零点.
综上,f(x)只有一个零点.
【解析】分析:(1)将代入,求导得,令求得增区间,令求得减区间;(2)令,即,则将问题转化为函数只有一个零点问题,研究函数单调性可得.
详解:(1)当a=3时,f(x)=,f ′(x)=.
令f ′(x)=0解得x=或x=.
当x∈(–∞,)∪(,+∞)时,f ′(x)>0;
当x∈(,)时,f ′(x)<0.
故f(x)在(–∞,),(,+∞)单调递增,在(,)单调递减.
(2)由于,所以等价于.
设=,则g ′(x)=≥0,仅当x=0时g ′(x)=0,所以g(x)在(–∞,+∞)单调递增.故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.
又f(3a–1)=,f(3a+1)=,故f(x)有一个零点.
综上,f(x)只有一个零点.
点睛:(1)用导数求函数单调区间的步骤如下:①确定函数的定义域;②求导数;③由(或)解出相应的的取值范围,当时,在相应区间上是增函数;当时,在相应区间上是减增函数.
(2)本题第二问重在考查零点存在性问题,解题的关键在于将问题转化为求证函数有唯一零点,可先证明其单调,再结合零点存在性定理进行论证.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22. [选修4-4:坐标系与参数方程]
    在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数).
    (1)求和的直角坐标方程; 
    (2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为,求的斜率.
【答案】解:
(1)曲线的直角坐标方程为.
当时,的直角坐标方程为,
当时,的直角坐标方程为.
(2)将的参数方程代入的直角坐标方程,整理得关于的方程
.①
因为曲线截直线所得线段的中点在内,所以①有两个解,设为,,则.
又由①得,故,于是直线的斜率.
【解析】分析:(1)根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程,根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程,此时要注意分 与两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程,根据参数几何意义得之间关系,求得,即得的斜率.
详解:(1)曲线的直角坐标方程为.
当时,的直角坐标方程为,
当时,的直角坐标方程为.
(2)将的参数方程代入的直角坐标方程,整理得关于的方程
.①
因为曲线截直线所得线段的中点在内,所以①有两个解,设为,,则.
又由①得,故,于是直线的斜率.
点睛:直线的参数方程的标准形式的应用
过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数,t可正、可负、可为0)
若M1,M2是l上的两点,其对应参数分别为t1,t2,则
(1)M1,M2两点的坐标分别是(x0+t1cos α,y0+t1sin α),(x0+t2cos α,y0+t2sin α).
(2)|M1M2|=|t1-t2|.
(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t,则t=,中点M到定点M0的距离|MM0|=|t|=.
(4)若M0为线段M1M2的中点,则t1+t2=0.
23. [选修4-5:不等式选讲]
    设函数.
    (1)当时,求不等式的解集;
    (2)若,求的取值范围.
【答案】解:
(1)当时,

可得的解集为.
(2)等价于.
而,且当时等号成立.故等价于.
由可得或,所以的取值范围是.
【解析】分析:(1)先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组,分别求解,最后求并集,(2)先化简不等式为,再根据绝对值三角不等式得最小值,最后解不等式得的取值范围.
详解:(1)当时,

可得的解集为.
(2)等价于.
而,且当时等号成立.故等价于.
由可得或,所以的取值范围是.
点睛:含绝对值不等式的解法有两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想,法二是运用数形结合思想,将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用,这是命题的新动向.























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